Um poliedro convexo tem 12 faces triangulares e as demais, pentagonais. Sabendo que o número de arestas é o triplo do número de faces pentagonais, determine, em radianos, a soma dos ângulos de todas as faces pentagonais desse poliedro.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um poliedro convexo que tem 12 faces triangulares e o resto são pentagonais. A gente também sabe que o número de arestas desse poliedro é três vezes o número de faces pentagonais. Nosso objetivo aqui é descobrir, em radianos, qual é a soma dos ângulos de todas as faces pentagonais desse poliedro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma coisa importante sobre poliedros convexos: a Fórmula de Euler. Ela diz que para qualquer poliedro convexo, o número de vértices (V) menos o número de arestas (E) mais o número de faces (F) é igual a 2. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos identificar o que sabemos:
- Temos 12 faces triangulares.
- O número de faces pentagonais vamos chamar de
. - Então, o número total de faces
é:
Passo 4
Vamos contar o número de arestas. Cada face triangular tem 3 arestas, e cada face pentagonal tem 5 arestas. Mas, lembre-se que cada aresta é compartilhada por duas faces. Então, o total de arestas
pode ser calculado assim:
Simplificando:
Passo 5
Segundo a questão, o número de arestas é três vezes o número de faces pentagonais:
Agora, substituímos na equação anterior:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então, temos 36 faces pentagonais.
Passo 7
Agora, vamos calcular a soma dos ângulos internos de uma face pentagonal. A soma dos ângulos internos de um polígono de
lados é dada por:
Para um pentágono (
):
Passo 8
Como queremos a soma dos ângulos em radianos, vamos converter 540 graus para radianos. Sabemos que:
Então,
Passo 9
Agora, multiplicamos a soma dos ângulos de uma face pentagonal pelo número total de faces pentagonais:
Resposta
A soma dos ângulos de todas as faces pentagonais do poliedro é
radianos.