Um poliedro convexo tem 12 faces triangulares e as demais, pentagonais. Sabendo que o número de arestas é o triplo do número de faces pentagonais, determine, em radianos, a soma dos ângulos de todas as faces pentagonais desse poliedro.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um poliedro convexo que tem 12 faces triangulares e o resto são pentagonais. A gente também sabe que o número de arestas desse poliedro é três vezes o número de faces pentagonais. Nosso objetivo aqui é descobrir, em radianos, qual é a soma dos ângulos de todas as faces pentagonais desse poliedro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma coisa importante sobre poliedros convexos: a Fórmula de Euler. Ela diz que para qualquer poliedro convexo, o número de vértices (V) menos o número de arestas (E) mais o número de faces (F) é igual a 2. Ou seja:
V - E + F = 2

Passo 3

Agora, vamos identificar o que sabemos:
  • Temos 12 faces triangulares.
  • O número de faces pentagonais vamos chamar de P .
  • Então, o número total de faces F é:
F = 12 + P

Passo 4

Vamos contar o número de arestas. Cada face triangular tem 3 arestas, e cada face pentagonal tem 5 arestas. Mas, lembre-se que cada aresta é compartilhada por duas faces. Então, o total de arestas E pode ser calculado assim:
E = (12 times 3) + (P times 5)2
Simplificando:
E = 36 + 5P2

Passo 5

Segundo a questão, o número de arestas é três vezes o número de faces pentagonais:
E = 3P
Agora, substituímos na equação anterior:
3P = 36 + 5P2

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar P :
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
6P = 36 + 5P
Subtraindo 5P de ambos os lados:
P = 36
Então, temos 36 faces pentagonais.

Passo 7

Agora, vamos calcular a soma dos ângulos internos de uma face pentagonal. A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por:
(n - 2) times 180^circ
Para um pentágono ( n = 5 ):
(5 - 2) times 180^circ = 3 times 180^circ = 540^circ

Passo 8

Como queremos a soma dos ângulos em radianos, vamos converter 540 graus para radianos. Sabemos que:
180^circ = pi radianos
Então,
540^circ = 3 pi radianos

Passo 9

Agora, multiplicamos a soma dos ângulos de uma face pentagonal pelo número total de faces pentagonais:
Soma total = 36 times 3pi = 108pi radianos

Resposta

A soma dos ângulos de todas as faces pentagonais do poliedro é 108pi radianos.

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