Dada a matriz e B=|cc2 x & x y & 1|, determine:
a. A matriz Z, sabendo que é dada por
Z=adj(A)
b. Calcule x e y, dado que
Z=B^T A-2 adj(A)
Passo 1
Vamos resolver um exercício envolvendo matrizes, especificamente a matriz adjunta. O problema nos dá duas matrizes A e B e pede para determinar a matriz Z que é a adjunta de A e, em seguida, encontrar os valores de x e y que satisfazem a relação Z = B^T A - 2 , adj(A) . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a matriz adjunta, multiplicar matrizes e realizar operações básicas de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz adjunta de A , ou seja, Z = adj(A) . A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de A .
Dados:
A = 2 & 1 -1 & 0
Passo 3
Calculamos os cofatores de A . Para uma matriz 2 times 2 , o cofator de cada elemento é simplesmente o elemento oposto da posição.
Os cofatores são:
Cofator de a11 = 2 : C11 = 0
Cofator de a12 = 1 : C12 = 1
Cofator de a21 = -1 : C21 = 1
Cofator de a22 = 0 : C22 = 2
Passo 4
Agora, formamos a matriz de cofatores:
Cof(A) = 0 & 1 1 & 2
Passo 5
A matriz adjunta Z = adj(A) é a transposta da matriz de cofatores:
Z = Cof(A)^T = 0 & 1 1 & 2 ^T = 0 & 1 1 & 2
Passo 6
Agora, precisamos encontrar os valores de x e y que satisfazem a equação:
Z = B^T A - 2 , adj(A)
Sabemos que:
B = 2x & x y & 1
Então, sua transposta é:
B^T = 2x & y x & 1
Passo 7
Vamos multiplicar B^T por A :
B^T A = 2x & y x & 1 2 & 1 -1 & 0 = (2x)(2) + y(-1) & (2x)(1) + y(0) x(2) + 1(-1) & x(1) + 1(0) = 4x - y & 2x 2x - 1 & x
Passo 8
Sabemos que:
Z = B^T A - 2 , adj(A)
Substituindo os valores que já calculamos:
0 & 1 1 & 2 = 4x - y & 2x 2x - 1 & x - 2 0 & 1 1 & 2 = 4x - y & 2x 2x - 1 & x - 0 & 2 2 & 4 = 4x - y & 2x - 2 2x - 3 & x - 4
Passo 9
Igualamos as respectivas entradas das matrizes:
4x - y = 0 2x - 2 = 1 2x - 3 = 1 x - 4 = 2
Observamos que há redundância nas equações, então resolvemos qualquer uma delas para encontrar x e y .
Passo 10
Resolvendo a equação x - 4 = 2 :
x = 2 + 4 = 6
Agora, substituímos x = 6 na equação 4x - y = 0 :
4(6) - y = 0 Rightarrow 24 - y = 0 Rightarrow y = 24