Seja a matriz A3 x 2 dada por
ai j=l i+1, se i<j j-1, se i >= j
determine:
a. A matriz A com seus elementos.
b. Tr(A).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A de dimensões 3 times 2 onde cada elemento aij é definido por uma regra diferente dependendo da comparação entre i e j . O que precisamos fazer é:
a. Construir a matriz A preenchendo todos os seus elementos de acordo com a regra dada.
b. Calcular a traca ( Tr(A) ) dessa matriz.
Para isso, vamos usar conhecimentos de matrizes e entender como aplicamos condições para determinar cada elemento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como preencher a matriz [A). A matriz tem 3 linhas e 2 colunas, então vamos numerar as linhas de 1 a 3 e as colunas de 1 a 2. A regra para cada elemento é:
Isso significa que, para cada posição na matriz, vamos verificar se o índice da linha . Se for, usamos ; caso contrário, usamos .

Passo 3

Vamos preencher a matriz passo a passo.
Linha 1 ( i = 1 ):
  • Coluna 1 ( j = 1 ): Aqui, i = j (1 = 1), então usamos j - 1 = 1 - 1 = 0 .
  • Coluna 2 ( j = 2 ): Aqui, i < j (1 < 2), então usamos i + 1 = 1 + 1 = 2 .
Linha 2 ( i = 2 ):
  • Coluna 1 ( j = 1 ): Aqui, i > j (2 > 1), então usamos j - 1 = 1 - 1 = 0 .
  • Coluna 2 ( j = 2 ): Aqui, i = j (2 = 2), então usamos j - 1 = 2 - 1 = 1 .
Linha 3 ( i = 3 ):
  • Coluna 1 ( j = 1 ): Aqui, i > j (3 > 1), então usamos j - 1 = 1 - 1 = 0 .
  • Coluna 2 ( j = 2 ): Aqui, i > j (3 > 2), então usamos j - 1 = 2 - 1 = 1 .

Passo 4

Agora, vamos organizar esses valores na matriz A :
A = 0 & 2 0 & 1 0 & 1

Passo 5

Agora que temos a matriz A , vamos calcular a traca ( Tr(A) ). A traca de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja, onde i = j .
No entanto, aqui temos uma matriz 3 times 2 , que não é quadrada. A traca está definida apenas para matrizes quadradas porque precisamos ter uma diagonal completa onde linhas e colunas se igualam. Como nossa matriz não é quadrada, a traca não está definida.

Resposta

a. A matriz A é
A = 0 & 2 0 & 1 0 & 1
b. A traca ( Tr(A) ) não está definida para matrizes que não são quadradas, como a matriz A de dimensões 3 times 2 .

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