Liste os diferentes tipos de matrizes discutidos em aula e apresente suas características gerais em notação matricial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para listarmos os diferentes tipos de matrizes que vimos em aula e mostrar as características gerais de cada uma usando notação matricial. Matriz é um conceito central na álgebra linear, e para resolver isso, vamos precisar entender como cada tipo de matriz é definido e suas propriedades básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a matriz quadrada. Isso é simples: uma matriz é quadrada quando tem o mesmo número de linhas e colunas. Por exemplo, uma matriz 2x2 ou 3x3. A notação fica assim:
Passo 3
Agora, a matriz zero. É uma matriz onde todos os elementos são zero. Pode ser de qualquer ordem, mas aqui está um exemplo de 3x3:
Passo 4
A seguir, temos a matriz diagonal. É uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Só os elementos aii (onde a linha e a coluna são iguais) podem ser diferentes de zero:
D = d11 & 0 & 0 0 & d22 & 0 0 & 0 & d33
Passo 5
Dentro das matrizes diagonais, temos a matriz escalar. É uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal principal são iguais. Por exemplo:
S = k & 0 & 0 0 & k & 0 0 & 0 & k
Aqui, k é um número real constante.
Passo 6
Outra é a matriz identidade. É uma matriz escalar especial onde o valor da constante k é 1. Ela é representada assim:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
A matriz identidade age como o número 1 para matrizes, ou seja, qualquer matriz multiplicada pela identidade mantém-se igual.
Passo 7
Vamos falar das matrizes triangulares. Existem dois tipos: superior e inferior.
Matriz triangular superior: todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.
U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33
Matriz triangular inferior: todos os elementos acima da diagonal principal são zero.
L = l11 & 0 & 0 l21 & l22 & 0 l31 & l32 & l33
Passo 8
Por último, temos a matriz simétrica. É uma matriz quadrada que é igual à sua transposta, ou seja, A = A^T. Isso significa que os elementos são espelhados em relação à diagonal principal:
A = a & b & c b & d & e c & e & f
Resposta
Listamos e caracterizamos os seguintes tipos de matrizes:
Matriz Quadrada: Mesmos números de linhas e colunas.
Matriz Zero: Todos os elementos são zero.
Matriz Diagonal: Elementos fora da diagonal principal são zero.
Matriz Escalar: Diagonal principal com elementos iguais.
Matriz Identidade: Matriz escalar com elementos da diagonal principal iguais a 1.
Matriz Triangular Superior: Elementos abaixo da diagonal principal são zero.
Matriz Triangular Inferior: Elementos acima da diagonal principal são zero.
Matriz Simétrica: Igual à sua transposta.
Cada tipo possui características específicas que facilitam operações e resoluções em álgebra linear.