Dada uma matriz quadrada
de ordem
, é correto afirmar sobre o seu determinante:
a. Se
a matriz é invertível.
b.
inteiro.
c.
inteiro.
d. Se
a matriz pode ser invertível.
e.
inteiro.
a. Se
b.
c.
d. Se
e.
Passo 1
O enunciado apresenta uma matriz quadrada
de ordem
e pede para avaliar a veracidade de cinco afirmações sobre o determinante. O conteúdo da matéria envolve:
– Condição de invertibilidade via determinante.
– Propriedade de homogeneidade do determinante (multiplicação por escalar).
– Propriedade multiplicativa do determinante em potências de matriz.
– Condição de invertibilidade via determinante.
– Propriedade de homogeneidade do determinante (multiplicação por escalar).
– Propriedade multiplicativa do determinante em potências de matriz.
Passo 2
Avaliação de (a): “Se
a matriz é invertível.”
Pela teoria de matrizes, temos que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero.
Logo, a afirmação (a) é verdadeira.
Pela teoria de matrizes, temos que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero.
Logo, a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 3
Avaliação de (b): “
inteiro.”
A propriedade de homogeneidade do determinante diz que, ao multiplicar uma matriz de ordem
por um escalar
, o determinante escala como
A propriedade de homogeneidade do determinante diz que, ao multiplicar uma matriz
Portanto, (b) é verdadeira.
Passo 4
Avaliação de (c): “
inteiro.”
Comparando com o resultado do passo anterior, vemos que só seria verdade se . Para ordem geral
, a forma correta é
, não
.
Logo, (c) é falsa.
Comparando com o resultado do passo anterior, vemos que só seria verdade se
Logo, (c) é falsa.
Passo 5
Avaliação de (d): “Se
a matriz pode ser invertível.”
Isso contradiz a equivalência entre determinante nulo e matriz singular. Se ,
é não invertível.
Portanto, (d) é falsa.
Isso contradiz a equivalência entre determinante nulo e matriz singular. Se
Portanto, (d) é falsa.
Passo 6
Avaliação de (e): “
inteiro.”
A propriedade multiplicativa do determinante garante que para potências inteiras positivas de vale
A propriedade multiplicativa do determinante garante que para potências inteiras positivas de
Assim, (e) é verdadeira.
Resposta
(a), (b) e (e)