Dada uma matriz quadrada \boldsymbol{A} de ordem \boldsymbol{n}, é correto afirmar sobre o seu determinante:
a. Se \operatorname{det}(A) \neq 0 a matriz é invertível.
b. \operatorname{det}(k A)=k^{n} \operatorname{det}(A), k inteiro.
c. \operatorname{det}(k A)=k \operatorname{det}(A), k inteiro.
d. Se \operatorname{det}(A)=0 a matriz pode ser invertível.
e. \operatorname{det}\left(A^{k}\right)=\operatorname{det}(A)^{k}, k inteiro.

Passo 1

O enunciado apresenta uma matriz quadrada A de ordem n e pede para avaliar a veracidade de cinco afirmações sobre o determinante. O conteúdo da matéria envolve:
– Condição de invertibilidade via determinante.
– Propriedade de homogeneidade do determinante (multiplicação por escalar).
– Propriedade multiplicativa do determinante em potências de matriz.

Passo 2

Avaliação de (a): “Se \det(A)\neq0 a matriz é invertível.”
Pela teoria de matrizes, temos que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero.
Logo, a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

Avaliação de (b): “ \det(kA)=k^{n}\det(A),\;k inteiro.”
A propriedade de homogeneidade do determinante diz que, ao multiplicar uma matriz A de ordem n por um escalar k, o determinante escala como
\det(kA)=k^{n}\,\det(A).
Portanto, (b) é verdadeira.

Passo 4

Avaliação de (c): “ \det(kA)=k\det(A),\;k inteiro.”
Comparando com o resultado do passo anterior, vemos que só seria verdade se n=1. Para ordem geral n, a forma correta é k^{n}, não k.
Logo, (c) é falsa.

Passo 5

Avaliação de (d): “Se \det(A)=0 a matriz pode ser invertível.”
Isso contradiz a equivalência entre determinante nulo e matriz singular. Se \det(A)=0, A é não invertível.
Portanto, (d) é falsa.

Passo 6

Avaliação de (e): “ \det(A^{k})=\det(A)^{k},\;k inteiro.”
A propriedade multiplicativa do determinante garante que para potências inteiras positivas de A vale
\det(A^{k})=\bigl(\det(A)\bigr)^{k}.
Assim, (e) é verdadeira.

Resposta

(a), (b) e (e)

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