Sobre o sistema
\left\{\begin{array}{l}3 x+y=0 \\\\ 2 x+y=0\end{array}\right.
é correto afirmar que:
a. Possui infinitas soluções.
b. Não possui soluções.
c. É uma equação homogênea.
d. A matriz estendida possui posto 2.
e. Possui apenas a solução trivial.

Passo 1

Temos um sistema linear de duas equações e duas incógnitas dado por
\begin{cases} 3x + y = 0,\\\\ 2x + y = 0. \end{cases}
O assunto aqui é sistemas lineares homogêneos, determinante de matriz 2\times2, e classificação de soluções (única, infinita ou nenhuma). Usaremos a matriz de coeficientes, seu determinante e o fato de sistema homogêneo sempre ter a solução trivial.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\[6pt] 2 & 1 \end{pmatrix}
e calculamos o determinante \det(A). Se \det(A) \neq 0, o sistema homogêneo A \,(x,y)^{T} = 0 tem única solução, que é a trivial.]

Passo 3

Calculando o determinante,
\det(A) = 3\cdot1 - 1\cdot2 = 3 - 2 = 1 \neq 0.
Como \det(A)\neq0, pelo Teorema de Cramer ou pela teoria de sistemas lineares, o sistema homogêneo admite única solução.

Passo 4

Em sistemas homogêneos, a única solução quando a matriz é inversível é a solução trivial (x,y)=(0,0). Podemos confirmar subtraindo a segunda equação da primeira:
(3x+y)-(2x+y)=0-0\implies x=0,
e então 2\cdot0+y=0\implies y=0.

Resposta

e. Possui apenas a solução trivial.

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