Sobre o sistema \left\{\begin{array}{l}3 x+y=0 \\\\ 2 x+y=0\end{array}\right.
é correto afirmar que:
a. Possui infinitas soluções.
b. Não possui soluções.
c. É uma equação homogênea.
d. A matriz estendida possui posto 2.
e. Possui apenas a solução trivial.
Passo 1
Temos um sistema linear de duas equações e duas incógnitas dado por
\begin{cases}
3x + y = 0,\\\\ 2x + y = 0.
\end{cases}
O assunto aqui é sistemas lineares homogêneos, determinante de matriz 2\times2, e classificação de soluções (única, infinita ou nenhuma). Usaremos a matriz de coeficientes, seu determinante e o fato de sistema homogêneo sempre ter a solução trivial.
e calculamos o determinante \det(A). Se \det(A) \neq 0, o sistema homogêneo A \,(x,y)^{T} = 0 tem única solução, que é a trivial.]
Passo 3
Calculando o determinante,
\det(A) = 3\cdot1 - 1\cdot2 = 3 - 2 = 1 \neq 0.
Como \det(A)\neq0, pelo Teorema de Cramer ou pela teoria de sistemas lineares, o sistema homogêneo admite única solução.
Passo 4
Em sistemas homogêneos, a única solução quando a matriz é inversível é a solução trivial (x,y)=(0,0). Podemos confirmar subtraindo a segunda equação da primeira: