Sejam
e
duas matrizes quadradas de ordem
. Definimos o comutador como a matriz
. Sobre o comutador é incorreto afirmar:
a.
é simétrica.
b.
.
c.
, sendo 0 a matriz nula.
d.
.
e.
, sendo 0 a matriz nula.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado define para matrizes quadradas
e
de ordem
o comutador
e nos pede para identificar qual das afirmativas sobre o comutador é incorreta. Vamos verificar cada propriedade pedida: simetria, transposição, potências e inversa.
Passo 2
Verificamos (a):
Para checar se é simétrica, calculamos a transposta:
Como
, a matriz é de fato simétrica. Logo, (a) está correta.
Passo 3
Verificamos (b):
Isso confirma
, logo (b) está correta.
Passo 4
Verificamos (c):
Como
comuta com suas próprias potências, o comutador é a matriz nula. Portanto, (c) está correta.
Passo 5
Verificamos (e):
Se é invertível,
Se
Logo (e) também está correta.
Passo 6
A opção (d) afirma
Mas do Passo 3 vimos que
que em geral difere de
. Em particular, para matrizes genéricas
e
, o comutador não é simétrico, então (d) é a afirmativa incorreta.
Resposta
(d)