Sejam \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} duas matrizes quadradas de ordem \boldsymbol{n}. Definimos o comutador como a matriz [A, B]=A B-B A. Sobre o comutador é incorreto afirmar:
a. \left[A, A^{T}\right] é simétrica.
b. [A, B]^{T}=-\left[A^{T}, B^{T}\right].
c. \left[A, A^{n}\right]=0, sendo 0 a matriz nula.
d. [A, B]^{T}=[A, B].
e. \left[A, A^{-1}\right]=0, sendo 0 a matriz nula.

Passo 1

O enunciado define para matrizes quadradas A e B de ordem n o comutador
[A,B] = AB - BA
e nos pede para identificar qual das afirmativas sobre o comutador é incorreta. Vamos verificar cada propriedade pedida: simetria, transposição, potências e inversa.

Passo 2

Verificamos (a):
[A,A^T] = AA^T - A^T A.
Para checar se é simétrica, calculamos a transposta:
\bigl(AA^T - A^T A\bigr)^T = (AA^T)^T - (A^T A)^T = A A^T - A^T A = [A,A^T].
Como [A,A^T]^T = [A,A^T], a matriz é de fato simétrica. Logo, (a) está correta.

Passo 3

Verificamos (b):
[A,B]^T = (AB - BA)^T = B^T A^T - A^T B^T = -\bigl(A^T B^T - B^T A^T\bigr) = -[A^T, B^T].
Isso confirma [A,B]^T = -[A^T,B^T], logo (b) está correta.

Passo 4

Verificamos (c):
[A, A^n] = A\,A^n - A^n A = A^{n+1} - A^{n+1} = 0.
Como A comuta com suas próprias potências, o comutador é a matriz nula. Portanto, (c) está correta.

Passo 5

Verificamos (e):
Se A é invertível,
[A,A^{-1}] = A\,A^{-1} - A^{-1}A = I - I = 0.
Logo (e) também está correta.

Passo 6

A opção (d) afirma
[A,B]^T = [A,B].
Mas do Passo 3 vimos que
[A,B]^T = -[A^T, B^T],
que em geral difere de [A,B]. Em particular, para matrizes genéricas A e B, o comutador não é simétrico, então (d) é a afirmativa incorreta.

Resposta

(d)

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