Define-se, para qualquer n \in \mathbb{N}, a matriz A_{n}=\left[\begin{array}{ll}1 & n \\\\ 1 & 2\end{array}\right]. Mostre que o produto A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} não é invertível.

Passo 1

O enunciado dá, para cada n\in\mathbb{N}, a matriz
A_{n}=\begin{pmatrix}1 & n\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
Pede-se para mostrar que o produto
A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}
não é invertível.
Informações relevantes fornecidas: cada A_n é uma matriz 2\times2 com entradas explícitas; o produto é a multiplicação usual de matrizes conforme a ordem dada.]

Passo 2

Lembrete útil (conceito que vamos usar): uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Vou explicar isso de forma bem direta:
  • Para uma matriz quadrada M, existe M^{-1} tal que M M^{-1}=I exatamente quando \det(M)\neq0.
  • Para matrizes 2\times2 a fórmula do determinante é simples: se
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então
\det(M)=ad-bc.
  • Outra propriedade que vamos usar é a multiplicatividade do determinante: para matrizes quadradas compatíveis,
\det\!\left(B C\right)=\det(B)\det\text{(C)}.
Isto vale em particular para o produto de várias matrizes:
\det\!\left(A_{1}A_{2}\cdots A_{5}\right)=\prod_{k=1}^{5}\det(A_k).]

Passo 3

Calcular o determinante de uma matriz genérica A_n usando a fórmula do 2\times2. Como
A_{n}=\begin{pmatrix}1 & n\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix},
temos
\det(A_n)=1\cdot 2 - n\cdot 1 = 2-n.]

Passo 4

Agora calcular \det(A_k) para k=1,2,3,4,5 usando \det(A_k)=2-k:
\det(A_1)=2-1=1,\qquad \det(A_2)=2-2=0,
\det(A_3)=2-3=-1,\qquad \det(A_4)=2-4=-2,\qquad \det(A_5)=2-5=-3.

Passo 5

Aplicar a multiplicatividade do determinante ao produto pedido:
\det\!\left(A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}\right)=\prod_{k=1}^{5}\det(A_k)=(1)\cdot(0)\cdot(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)=0.
Como o determinante do produto é 0, pelo critério de invertibilidade a matriz A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5} não é invertível.

Resposta

O produto A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5} não é invertível.

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