Define-se, para qualquer n \in \mathbb{N}, a matriz A_{n}=\left[\begin{array}{ll}1 & n \\\\ 1 & 2\end{array}\right]. Mostre que o produto A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} não é invertível.
Passo 1
O enunciado dá, para cada n\in\mathbb{N}, a matriz
não é invertível.
Informações relevantes fornecidas: cada A_n é uma matriz 2\times2 com entradas explícitas; o produto é a multiplicação usual de matrizes conforme a ordem dada.]
Passo 2
Lembrete útil (conceito que vamos usar): uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Vou explicar isso de forma bem direta:
Para uma matriz quadrada M, existe M^{-1} tal que M M^{-1}=I exatamente quando \det(M)\neq0.
Para matrizes 2\times2 a fórmula do determinante é simples: se
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então
\det(M)=ad-bc.
Outra propriedade que vamos usar é a multiplicatividade do determinante: para matrizes quadradas compatíveis,
\det\!\left(B C\right)=\det(B)\det\text{(C)}.
Isto vale em particular para o produto de várias matrizes: