Dada uma matriz quadrada de ordem
, a soma dos elementos diagonais dessa matriz chama-se o traço,
. Determinar se o subconjunto
Mat
de todas as matrizes com o traço nulo é um subespaço vetorial ou não,
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
.
Queremos verificar se é um subespaço de
. Para isso basta mostrar que
Queremos verificar se
- o vetor zero está em
, -
é fechado sob soma, -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que a matriz zero
tem traço nulo. De fato,
logo
.
Passo 3
Fechamento sob soma: sejam
. Então
e
. Como o traço é linear,
portanto
.
Passo 4
Fechamento sob escalar: seja
e
. Então
e pela propriedade
logo
.