Dada uma matriz quadrada de ordem n, A in Matn(R), a soma dos elementos diagonais dessa matriz chama-se o traço, Tr A=sumi=1^n ai i. Determinar se o subconjunto T0 subset Mat n(R) de todas as matrizes com o traço nulo é um subespaço vetorial ou não, T0=A in Matn(R), Tr A=0.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
T0 = Ain Matn(R) mid TrA = 0.
Queremos verificar se T0 é um subespaço de Matn(R). Para isso basta mostrar que
  1. o vetor zero está em T0,
  2. T0 é fechado sob soma,
  3. T0 é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que a matriz zero 0 tem traço nulo. De fato,
Tr(0)=sumi=1^n0=0,
logo 0in T0.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam A,Bin T0. Então TrA=0 e TrB=0. Como o traço é linear,
Tr(A+B)=TrA+TrB=0+0=0,
portanto A+Bin T0.

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja lambdainR e Ain T0. Então TrA=0 e pela propriedade
Tr(lambda A)=lambda,TrA=lambdacdot 0=0,
logo lambda Ain T0.

Resposta

T0 é um subespaço vetorial de Matn(R).

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