Verifque quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de R^3 :
todos os vetores da forma ( a ; b ; c ), com c=a+b.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = (a,b,c)inR^3 mid c = a + b
é subespaço de R^3. Para isso usamos a definição de subespaço: devemos mostrar que
  1. o vetor zero está em S,
  2. S é fechado sob soma,
  3. S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor zero (0,0,0) está em S.
Como para (a,b,c)=(0,0,0) temos
c = 0 = 0 + 0 = a + b,
o vetor zero satisfaz a condição e, portanto, (0,0,0)in S.

Passo 3

Verificar a fechadura sob soma.
Sejam (a1,b1,c1) e (a2,b2,c2) em S, ou seja
c1 = a1 + b1 e c2 = a2 + b2
Então a soma é
(a1,b1,c1) + (a2,b2,c2) = (a1 + a2,;b1 + b2,;c1 + c2)
Como
c1 + c2 = (a1 + b1) + (a2 + b2) = (a1 + a2) + (b1 + b2),
a soma também satisfaz a condição c = a + b, logo está em S.

Passo 4

Verificar a fechadura sob multiplicação escalar.
Se (a,b,c)in S com c = a + b e kinR, então
k,(a,b,c) = (ka,;kb,;kc)
Como kc = k(a + b) = ka + kb, o vetor k,(a,b,c) também satisfaz c = a + b e pertence a S.

Resposta

S é subespaço de R^3.

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