Seja o espaço euclidiano . Determine o vetor w tal que lang<=u ; w>=8 e <v ; w>=10, dados u= (2 ; 1) e v=(-1 ; 3).

Passo 1

O enunciado pede um vetor vec winR^2 tal que
lang<=vec u,vec wrang<==8 e lang<=vec v,vec wrang<==10,
sabendo que vec u=(2,1) e vec v=(-1,3).
Aqui o conteúdo é definição de produto interno em R^2 e solução de um sistema linear.

Passo 2

Seja vec w=(x,y). Pelo produto interno em coordenadas temos
lang<=vec u,vec wrang<==2x+1cdot y=8
e
lang<=vec v,vec wrang<==(-1),x+3,y=10
Assim obtemos o sistema
2x+y=8, -,x+3y=10

Passo 3

Para resolver, multiplicamos a segunda equação por 2 e somamos à primeira:
-2x+6y=20, 2x+y=8 Longrightarrow7y=28 Longrightarrow y=4
Substituindo em 2x+y=8
2x+4=8 Longrightarrow2x=4 Longrightarrow x=2
Logo vec w=(2,4).

Resposta

vec w=(2,4)

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