(1) x1+x2+x3 & =1 x1-x2+x3 & =0 -x1+x2+x3 & =-1,
(2) x1+x2+x3+x4 & =1 x1-x2+x4 & =2 x5+x6 & =0,
(3) ccc2 x1+x2+3 x3 & = & 8 4 x1+2 x2+6 x3 & = & 4 2 x1+x2+3 x3 & = & -12,
(4) ccc2 x1+4 x2+x3 & = & 1 5 x1-2 x2+x4 & = & 0 3 x1+x2+x3+x4 & = & 0 3 x2+2 x3 & = & 0
v) Classifique cadas sistema de equações lineares segundo o conjunto de soluções.

Passo 1

Temos quatro sistemas lineares e queremos classificar o conjunto de soluções de cada um: se há solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. Para isso vamos olhar para o determinante (quando o número de equações iguala o número de incógnitas) ou para o posto da matriz dos coeficientes em relação ao número de incógnitas.

Passo 2

Sistema (1):
x1+x2+x3=1, x1-x2+x3=0, -,x1+x2+x3=-1
A matriz de coeficientes é
A1= 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 1
Calculemos det(A1):
det(A1) =1cdotdet-1&11&1 -1cdotdet1&1-1&1 +1cdotdet1&-1-1&1 =-2-2+0=-4neq0
Como det(A1)neq0, o sistema é compatível determinado, ou seja, tem solução única.

Passo 3

Sistema (2):
x1+x2+x3+x4=1, x1-x2+x4=2, x5+x6=0
Aqui temos 6 incógnitas e apenas 3 equações. O posto da matriz de coeficientes é 3, menor que o número de incógnitas ( 6), e não existe contradição entre as equações. Logo, o sistema é compatível indeterminado e possui infinitas soluções (um espaço afim de dimensão 6-3=3, mas note que as duas primeiras equações envolvem apenas (x1,x2,x3,x4) dando posto 2 nessa parte e a terceira equação envolve (x5,x6), totalizando posto 3).

Passo 4

Sistema (3):
2x1+x2+3x3=8, 4x1+2x2+6x3=4, 2x1+x2+3x3=-12
As equações 1 e 3 têm o mesmo lado esquerdo 2x1+x2+3x3 mas dois termos independentes diferentes ( 8 e -12). Isso gera contradição direta, pois não se pode ter
2x1+x2+3x3=8 e 2x1+x2+3x3=-12
ao mesmo tempo. Portanto o sistema é incompatível e não tem solução.

Passo 5

Sistema (4):
2x1+4x2+x3=1, 5x1-2x2+x4=0, 3x1+x2+x3+x4=0, 3x2+2x3=0
Temos 4 equações e 4 incógnitas. A última equação dá x3=-tfrac32x2 e, substituindo nas outras, determina unicamente x1,x2,x3,x4 sem contradição. Logo o posto é 4 e o sistema é compatível determinado, com solução única.

Resposta

(1) solução única.
(2) infinitas soluções.
(3) sem solução.
(4) solução única.

Exercícios relacionados