Dada uma matriz quadrada An times n, dizemos que um vetor não-nulo v é um autovetor de A se existe um número lambda in R tal que A v=lambda v. Nesse caso, o número lambda se diz um autovalor de A associado ao autovetor v. A ideia é: se o vetor v é um autovetor de uma matriz A, então a transformação desse vetor pela matriz (conforme explicamos nos subitens anteriores) possui a forma mais simples possível, que é simplesmente a multiplicação pelo escalar lambda !
Para obter os autovalores de uma matriz A, devemos portanto descobrir primeiro para quais valores de lambda a equação A v=lambda v possui solução não-trivial (isto é, para os quais existem vetores não-nulos v que resolvam a essa equação). Para tanto, observe que a equação A v=lambda v equivale ao sistema linear homogêneo (A-lambda In) X=0, onde a matriz coluna Xn times 1 contém n incógnitas que vão ser as componentes de v e onde 0 é a matriz nula n times 1. Como esse sistema linear possui solução não-trivial se, e só se, o determinante da matriz de coeficientes A-lambda In é nulo (caso em que a matriz A-lambda In não tem inversa, e daí o sistema homogêneo não pode ter somente a solução trivial), vemos que encontrar os autovalores lambda possíveis para A equivale a resolver a equação polinomial p(lambda)=det(A-lambda In)=0. Esse polinômio p(lambda) se chama polinômio característico da matriz A. A equação p(lambda)=0 se diz a equação característica da matriz A, cujas raízes são os autovalores dessa matriz.
Posto isto, considere a matriz
A=[ll 1 & 1 0 & 2 ]
Encontre a sua equação característica e determine seus autovalores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre autovalores de uma matriz quadrada. A gente precisa encontrar a equação característica da matriz dada e, a partir dela, descobrir quais são os autovalores. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e matrizes. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, a gente precisa formar a matriz A - lambda I , onde A é a matriz dada, I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A e lambda é o autovalor que estamos procurando. A matriz identidade para uma matriz 2 times 2 é:
I = 1 & 0 0 & 1
Então, A - lambda I fica:
A - lambda I = 1 & 1 0 & 2 - lambda 1 & 0 0 & 1 = 1 - lambda & 1 0 & 2 - lambda

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz A - lambda I . O determinante de uma matriz 2 times 2 a & b c & d é dado por ad - bc . Aplicando isso:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(2 - lambda) - (1)(0) = (1 - lambda)(2 - lambda)

Passo 4

A próxima etapa é montar a equação característica, que é o determinante igualado a zero:
(1 - lambda)(2 - lambda) = 0
Resolvendo essa equação, temos duas soluções:
  1. 1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1
  2. 2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 2

Resposta

Os autovalores da matriz A são lambda1 = 1 e lambda2 = 2 .

Exercícios relacionados