Dada uma matriz quadrada , dizemos que um vetor não-nulo é um autovetor de se existe um número tal que . Nesse caso, o número se diz um autovalor de associado ao autovetor . A ideia é: se o vetor é um autovetor de uma matriz , então a transformação desse vetor pela matriz (conforme explicamos nos subitens anteriores) possui a forma mais simples possível, que é simplesmente a multiplicação pelo escalar !
Para obter os autovalores de uma matriz , devemos portanto descobrir primeiro para quais valores de a equação possui solução não-trivial (isto é, para os quais existem vetores não-nulos que resolvam a essa equação). Para tanto, observe que a equação equivale ao sistema linear homogêneo , onde a matriz coluna contém incógnitas que vão ser as componentes de e onde é a matriz nula . Como esse sistema linear possui solução não-trivial se, e só se, o determinante da matriz de coeficientes é nulo (caso em que a matriz não tem inversa, e daí o sistema homogêneo não pode ter somente a solução trivial), vemos que encontrar os autovalores possíveis para equivale a resolver a equação polinomial . Esse polinômio se chama polinômio característico da matriz . A equação se diz a equação característica da matriz , cujas raízes são os autovalores dessa matriz.
Posto isto, considere a matriz
Encontre a sua equação característica e determine seus autovalores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre autovalores de uma matriz quadrada. A gente precisa encontrar a equação característica da matriz dada e, a partir dela, descobrir quais são os autovalores. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e matrizes. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, a gente precisa formar a matriz A - lambda I , onde A é a matriz dada, I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A e lambda é o autovalor que estamos procurando. A matriz identidade para uma matriz 2 times 2 é:
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz A - lambda I . O determinante de uma matriz 2 times 2 a & b c & d é dado por ad - bc . Aplicando isso: