Sejam
um conjunto de
autovetores de uma matriz
, associados a
autovalores distintos representados respectivamente por
. Suponha que todos os autovalores são distintos. Temos que vale em geral o seguinte fato: autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz são sempre LI. Posto isto: verifique que os autovetores que você encontrou no subitem (d) são, de fato, vetores LI.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz
com
autovalores distintos
e seus respectivos autovetores
. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores, e a propriedade de linearidade desses vetores. Nosso objetivo é verificar se esses autovetores são linearmente independentes (LI).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa vetores serem linearmente independentes. Basicamente, isso quer dizer que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em termos matemáticos, se
implica que todos os coeficientes
são zero, então os vetores são LI.
Passo 3
Agora, lembra que a teoria nos diz que autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz são sempre linearmente independentes. Isso porque se tivermos diferentes autovalores, nenhuma combinação não trivial desses autovetores pode resultar no vetor zero. Vamos aplicar isso ao nosso caso.
Passo 4
Como todos os autovalores
são distintos, de acordo com a teoria, os autovetores
são linearmente independentes. Portanto, não existe uma combinação não trivial desses vetores que resulte no vetor zero.
Passo 5
Para finalizar, como verificamos que os autovalores são distintos e que a teoria garante a linearidade independente dos autovetores associados, podemos concluir que os vetores que encontramos no subitem (d) são, de fato, vetores linearmente independentes.
Resposta
Os autovetores encontrados no subitem (d) são, de fato, vetores linearmente independentes.