Defina
por
. Mostre que
é uma transformação linear quando
. Encontre uma propriedade de transformação linear que não é válida se
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por
. A primeira parte quer que a gente mostre que essa função é uma transformação linear quando
. Além disso, precisamos identificar uma propriedade de transformação linear que deixa de ser válida se
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se satisfaz duas propriedades principais para todos os vetores
e escalares
:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
No nosso caso, como estamos trabalhando com números reais, os “vetores” são simplesmente números.
Passo 3
Vamos verificar essas propriedades para a função
quando
.
Aditividade:
Homogeneidade:
Como ambas as propriedades são satisfeitas quando
, a função
é de fato uma transformação linear nesse caso.
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece se
. Vamos testar a propriedade de Aditividade novamente.
Claramente,
se
, já que
.
Resposta
Quando
, a função
é uma transformação linear porque satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade. Porém, se
, a propriedade de aditividade não é válida, já que
.