Defina f: R R por f(x)=m x+b. Mostre que f é uma transformação linear quando b=0. Encontre uma propriedade de transformação linear que não é válida se b neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função f: R R definida por f(x) = m x + b . A primeira parte quer que a gente mostre que essa função é uma transformação linear quando b = 0 . Além disso, precisamos identificar uma propriedade de transformação linear que deixa de ser válida se b neq 0 .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função f é linear se satisfaz duas propriedades principais para todos os vetores u, v e escalares c :
  1. Aditividade: f(u + v) = f(u) + f(v)
  2. Homogeneidade: f(cu) = c f(u)
No nosso caso, como estamos trabalhando com números reais, os “vetores” são simplesmente números.

Passo 3

Vamos verificar essas propriedades para a função f(x) = m x + b quando b = 0 .
Aditividade:
f(u + v) = m(u + v) + 0 = m u + m v = f(u) + f(v)
Homogeneidade:
f(cu) = m(cu) + 0 = c(m u) = c f(u)
Como ambas as propriedades são satisfeitas quando b = 0 , a função f é de fato uma transformação linear nesse caso.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece se b neq 0 . Vamos testar a propriedade de Aditividade novamente.
f(u + v) = m(u + v) + b = m u + m v + b
f(u) + f(v) = (m u + b) + (m v + b) = m u + m v + 2b
Claramente, f(u + v) neq f(u) + f(v) se b neq 0 , já que m u + m v + b neq m u + m v + 2b .

Resposta

Quando b = 0 , a função f(x) = m x é uma transformação linear porque satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade. Porém, se b neq 0 , a propriedade de aditividade não é válida, já que f(u + v) neq f(u) + f(v) .

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