Dada a matriz A=[rrr2 & 1 & -3 0 & 2 & 1 5 & 1 & 3] calcule
a) adj A
b) det A
c) A^-1

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A= 2 & 1 & -3 0 & 2 & 1 5 & 1 & 3
e pede
(a) o adjunto adjA,
(b) o determinante detA e
(c) a inversa A^-1.
Vamos usar a regra de Sarrus ou a fórmula de Laplace para detA, a definição de cofator para adjA e, por fim,
A^-1=1detA;adjA

Passo 2

Para calcular detA usamos a fórmula
detA = a11(a22a33-a23a32) - a12(a21a33-a23a31) + a13(a21a32-a22a31)
Identificando
a11=2,;a12=1,;a13=-3,; a21=0,;a22=2,;a23=1,; a31=5,;a32=1,;a33=3,
temos
detA =2,(2cdot3-1cdot1) -1,(0cdot3-1cdot5) +(-3),(0cdot1-2cdot5) =2,(6-1)-,(0-5)-3,(0-10) =10+5+30 =45

Passo 3

Agora vamos montar a matriz dos cofatores C=(Cij), em que
Cij=(-1)^i+jMij,
sendo Mij o determinante da submatriz de A sem a i-ésima linha e j-ésima coluna. Calculando:
M11=det2&11&3=2cdot3-1cdot1=5,
C11=+5.
M12=det0&15&3=0cdot3-1cdot5=-5,
C12=-(-5)=5.
M13=det0&25&1=0cdot1-2cdot5=-10,
C13=+(-10)=-10.
M21=det1&-31&3=1cdot3-(-3)cdot1=6,
C21=-6.
M22=det2&-35&3=2cdot3-(-3)cdot5=21,
C22=+21.
M23=det2&15&1=2cdot1-1cdot5=-3,
C23=-(-3)=3.
M31=det1&-32&1=1cdot1-(-3)cdot2=7,
C31=+7.
M32=det2&-30&1=2cdot1-(-3)cdot0=2,
C32=-(2)=-2.
M33=det2&10&2=2cdot2-1cdot0=4,
C33=+4.
Assim a matriz dos cofatores é
C= 5 & 5 & -10 -6 & 21 & 3 7 & -2 & 4

Passo 4

O adjunto de A é a transposta de C, ou seja,
adjA = C^T = 5 & -6 & 7 5 & 21 & -2 -10 & 3 & 4

Passo 5

Por fim, usando A^-1=(1/detA),adjA e detA=45, obtemos
A^-1 =145 5 & -6 & 7 5 & 21 & -2 -10 & 3 & 4

Resposta

a)
adjA = 5 & -6 & 7 5 & 21 & -2 -10 & 3 & 4
b) detA=45.
c)
A^-1 =145 5 & -6 & 7 5 & 21 & -2 -10 & 3 & 4

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