Sejam
é função
,
o conjunto das funções pares e
o conjunto das funções ímpares. Mostre que:
(a)
e
são subespaços de
.
(b)
, isto é, toda
pode ser escrita como soma de uma função par com uma função ímpar.
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todas as funções
e os subconjuntos
Pede-se:
a) mostrar que e
são subespaços de
;
b) provar que todo se escreve como soma de um par com um ímpar (isto é,
);
c) mostrar que .
a) mostrar que
b) provar que todo
c) mostrar que
Passo 2
(Provar que
é subespaço)
- O zero de
é a função , e como temos . - Se
, então
logo
.
3. Se e
, então
3. Se
logo
.
Portanto, é fechado sob soma e multiplicação escalar e contém o zero, logo é subespaço de
.
Portanto,
Passo 3
(Provar que
é subespaço)
- O zero satisfaz
, então . - Se
, então
logo
.
3. Se e
, então
3. Se
logo
.
Assim, também é subespaço de
.
Assim,
Passo 4
(Decomposição em parte par e ímpar)
Para , definimos
Para
Mostramos que
,
e
.
– Verificação de paridade:
– Verificação de paridade:
logo
é par.
logo
é ímpar.
– Soma:
– Soma:
Portanto,
e assim
.
Passo 5
(Interseção trivial)
Se , então
é par e ímpar, ou seja
Se
Daí
para todo
, o que implica
e portanto
. Logo
é a função zero, e
Resposta
a)
e
são subespaços de
.
b) .
c) .
b)
c)