Sejam V=f: R longrightarrow R mid f é função , Vp=f in V mid f(x)=f(-x) o conjunto das funções pares e Vi=f in V mid f(-x)=-f(x) o conjunto das funções ímpares. Mostre que:
(a) Vp e Vi são subespaços de V.
(b) V=Vp+Vi, isto é, toda in V pode ser escrita como soma de uma função par com uma função ímpar.
(c) Vp cap Vi=0.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V de todas as funções fcolonRtoR e os subconjuntos
Vp=fin Vmid f(x)=f(-x)(funções pares), çõ
Vi=fin Vmid f(-x)=-f(x)(funções ímpares) çõí
Pede-se:
a) mostrar que Vp e Vi são subespaços de V;
b) provar que todo fin V se escreve como soma de um par com um ímpar (isto é, V=Vp+Vi);
c) mostrar que Vpcap Vi=0.

Passo 2

(Provar que Vp é subespaço)
  1. O zero de V é a função 0(x)=0, e como 0(-x)=0=0(x) temos 0in Vp.
  2. Se f,gin Vp, então
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),
logo f+gin Vp.
3. Se alphainR e fin Vp, então
(alpha f)(-x)=alpha,f(-x)=alpha,f(x)=(alpha f)(x),
logo alpha fin Vp.
Portanto, Vp é fechado sob soma e multiplicação escalar e contém o zero, logo é subespaço de V.

Passo 3

(Provar que Vi é subespaço)
  1. O zero satisfaz 0(-x)=0=-0(x), então 0in Vi.
  2. Se f,gin Vi, então
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f+g)(x),
logo f+gin Vi.
3. Se alphainR e fin Vi, então
(alpha f)(-x)=alpha,f(-x)=-alpha,f(x)=-(alpha f)(x),
logo alpha fin Vi.
Assim, Vi também é subespaço de V.

Passo 4

(Decomposição em parte par e ímpar)
Para fin V, definimos
fp(x)=f(x)+f(-x)2,
fi(x)=f(x)-f(-x)2
Mostramos que fpin Vp, fiin Vi e f=fp+fi.
– Verificação de paridade:
fp(-x)=f(-x)+f(x)2=fp(x),
logo fp é par.
fi(-x)=f(-x)-f(x)2=-f(x)-f(-x)2=-fi(x),
logo fi é ímpar.
– Soma:
fp(x)+fi(x) =f(x)+f(-x)2+f(x)-f(-x)2 =f(x)
Portanto, f=fp+fi e assim V=Vp+Vi.

Passo 5

(Interseção trivial)
Se fin Vpcap Vi, então f é par e ímpar, ou seja
f(-x)=f(x)e f(-x)=-f(x)
Daí f(x)=-f(x) para todo x, o que implica 2f(x)=0 e portanto f(x)=0. Logo f é a função zero, e
Vpcap Vi=0

Resposta

a) Vp e Vi são subespaços de V.
b) V=Vp+Vi.
c) Vpcap Vi=0.

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