Seja
um conjunto de vetores de um espaço vetorial
.
Se
é L.I. então todo subconjunto
também é L.I.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, em um espaço vetorial
, dado um conjunto de vetores
que é linearmente independente (L.I.), qualquer subconjunto
também deve ser L.I. O conteúdo é definição e propriedade de independência linear, e vamos usar diretamente a definição de L.I. para demonstrar isso.
Passo 2
Recordando a definição: um conjunto de vetores
é linearmente independente se, sempre que
então todos os escalares
são zero.
Passo 3
Seja
um subconjunto de
. Para testar a independência de
, suponha que existam escalares
tais que
Passo 4
Como cada
pertence a
, podemos escrever uma combinação linear sobre todo
atribuindo coeficiente zero aos vetores de
. Assim obtemos uma combinação sobre
que se anula. Mas
é L.I., logo todos os coeficientes dessa combinação — em particular
— devem ser zero.
Passo 5
Concluímos que a única solução para
é
. Portanto
é linearmente independente.
Resposta
A afirmação é verdadeira: todo subconjunto de um conjunto linearmente independente também é linearmente independente.