Seja B um conjunto de vetores de um espaço vetorial V.
Se B é L.I. então todo subconjunto B^prime subset B também é L.I.

Passo 1

O enunciado afirma que, em um espaço vetorial V, dado um conjunto de vetores B que é linearmente independente (L.I.), qualquer subconjunto B'subsetB também deve ser L.I. O conteúdo é definição e propriedade de independência linear, e vamos usar diretamente a definição de L.I. para demonstrar isso.

Passo 2

Recordando a definição: um conjunto de vetores S=v1,dots,vk é linearmente independente se, sempre que
a1v1 + a2v2 + cdots + akvk = 0,
então todos os escalares a1,dots,ak são zero.

Passo 3

Seja B'=w1,dots,wm um subconjunto de B. Para testar a independência de B', suponha que existam escalares b1,dots,bm tais que
b1w1 + b2w2 + cdots + bmwm = 0

Passo 4

Como cada wi pertence a B, podemos escrever uma combinação linear sobre todo B atribuindo coeficiente zero aos vetores de BsetminusB'. Assim obtemos uma combinação sobre B que se anula. Mas B é L.I., logo todos os coeficientes dessa combinação — em particular b1,dots,bm — devem ser zero.

Passo 5

Concluímos que a única solução para
b1w1 + b2w2 + cdots + bmwm = 0
é b1=b2=cdots=bm=0. Portanto B' é linearmente independente.

Resposta

A afirmação é verdadeira: todo subconjunto de um conjunto linearmente independente também é linearmente independente.

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