Mostre que o conjunto S das soluções do sistema linear homogêneo:
l 5 x+y+2 z-3 w=0 6 x+y-3 z+3 x=0 3 x+y+12 z-13 w=0
é um subespaço vetorial do R^4 e exiba uma base de S.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema homogêneo em
e pede (a) mostrar que o conjunto e (b) exibir uma base de . Vamos usar teoria de espaços vetoriais e eliminação de Gauss para resolver.

Passo 2

Toda solução de um sistema linear homogêneo Av=0 é exatamente o núcleo da aplicação linear vmapsto Av. Como o núcleo de qualquer transformação linear é um subespaço vetorial, concluímos imediatamente que
S = ,(x,y,z,w)inR^4 mid A,(x,y,z,w)^T = 0
é um subespaço de R^4.

Passo 3

Para encontrar uma base de S, montamos a matriz aumentada e fazemos eliminação de Gauss (omitindo a coluna de zeros do lado direito):
(, cccc 5 & 1 & 2 & -3 6 & 1 & -3 & 3 3 & 1 &12 &-13 )
Subtraindo a primeira linha da segunda, obtemos
L2 L2 - L1 ;Longrightarrow; (1,;0,;-5,;6)
Isto dá a equação
x - 5z + 6w = 0 Longrightarrow x = 5z - 6w
Em seguida, na primeira equação substituímos x:
5(5z -6w) + y + 2z -3w = 0 ;Longrightarrow; 25z -30w + y +2z -3w = 0 ;Longrightarrow; y = -27z +33w
Por fim, na terceira equação fazemos a verificação:
3x + y +12z -13w =3(5z -6w)+(-27z+33w)+12z -13w =0cdot z +2w =2w = 0 ;Longrightarrow; w=0

Passo 4

Como w=0, dos resultados anteriores segue
x = 5z, y = -27z, w = 0,
com z livre. Logo cada solução é
(x,y,z,w) = z,(5,,-27,;1,;0)
Portanto
S = l,z,(5,-27,1,0)mid zinRr =span(5,-27,1,0),
e (5,-27,1,0) é uma base de S.

Resposta

S é subespaço de R^4 (é o núcleo de uma transformação linear) e uma base de S é
(5,,-27,;1,;0)

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