Mostre que o conjunto das soluções do sistema linear homogêneo:
é um subespaço vetorial do R^4 e exiba uma base de S.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema homogêneo em
e pede (a) mostrar que o conjunto e (b) exibir uma base de . Vamos usar teoria de espaços vetoriais e eliminação de Gauss para resolver.
Passo 2
Toda solução de um sistema linear homogêneo Av=0 é exatamente o núcleo da aplicação linear vmapsto Av. Como o núcleo de qualquer transformação linear é um subespaço vetorial, concluímos imediatamente que
S = ,(x,y,z,w)inR^4 mid A,(x,y,z,w)^T = 0
é um subespaço de R^4.
Passo 3
Para encontrar uma base de S, montamos a matriz aumentada e fazemos eliminação de Gauss (omitindo a coluna de zeros do lado direito):