Verifique se S é um subespaço do espaço vetorial V sobre o corpo K nos seguintes casos.
V=R^n, S=(x1, x2, ldots, xn) in R^n mid x1 in Z e K=R.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V=R^n
e
S = (x1,x2,dots,xn)inR^n mid x1inZ
é um subespaço de V sobre K=R. Para isso, precisamos checar três propriedades:
  1. O vetor zero está em S.
  2. S é fechado sob soma.
  3. S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de R^n pertence a S. O vetor zero é
0 = (0,0,dots,0)
Como 0inZ, temos 0in S.

Passo 3

Testamos a fechadura de S sob soma. Tomemos
u=(u1,u2,dots,un)in S
e
v=(v1,v2,dots,vn)in S.
Pela definição de S, u1inZ e v1inZ. Então
u1+v1inZ,
e os demais componentes somam normalmente em R. Logo
u+vin S,
e S é fechado sob soma.

Passo 4

Testamos a fechadura sob multiplicação escalar. Seja um escalar alphainR e
u=(u1,u2,dots,un)in S
com u1inZ. O primeiro componente de alpha,u é
alpha,u1. Para S ser fechado, precisaríamos de alpha,u1inZ para todo alphainR. Mas se, por exemplo, alpha=tfrac12 e escolhemos u1=1, obtemos
tfrac12cdot1 = tfrac12notinZ
Assim tfrac12,unotin S, mostrando que S não é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

S não é um subespaço de V=R^n sobre R, pois falha a propriedade de fechamento sob multiplicação escalar.

Exercícios relacionados