Verifique se
é um subespaço do espaço vetorial
sobre o corpo
nos seguintes casos.
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
e
e
é um subespaço de
sobre
. Para isso, precisamos checar três propriedades:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob soma. -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero de
pertence a
. O vetor zero é
Como
, temos
.
Passo 3
Testamos a fechadura de
sob soma. Tomemos
e
.
Pela definição de ,
e
. Então
e
Pela definição de
e os demais componentes somam normalmente em
. Logo
,
e é fechado sob soma.
e
Passo 4
Testamos a fechadura sob multiplicação escalar. Seja um escalar
e
com . O primeiro componente de
é
. Para
ser fechado, precisaríamos de
para todo
. Mas se, por exemplo,
e escolhemos
, obtemos
com
Assim
, mostrando que
não é fechado sob multiplicação escalar.