Dada uma matriz M, sabemos que sua forma escalonada e reduzida é
ME R=(ccc 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 )
Seja W subset R^n o espaço gerado pelas colunas de M.
(a) Qual é o valor de n ?
(b) Qual é a dimensão de W^perp ? Lembre-se que W^perp é definido como sendo o conjunto u midlang<=u, wrang<==0, forall w in W.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz M cuja forma escalonada reduzida é dada por
MER = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Além disso, W é o espaço gerado pelas colunas de M dentro de R^n . Precisamos resolver duas partes:
(a) Encontrar o valor de n .
(b) Determinar a dimensão de W^perp , que é o conjunto de todos os vetores em R^n que são ortogonais a todos os vetores em W .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, dimensões, e espaços ortogonais. Vamos por partes!

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): qual é o valor de n ?
A matriz MER tem 8 linhas e 3 colunas, ou seja, é uma matriz 8 times 3 . Isso significa que as colunas de M são vetores em R^8 . Como W é o espaço gerado por essas colunas, W está dentro de R^8 .
Portanto, o valor de n é 8.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): qual é a dimensão de W^perp ?
Primeiro, sabemos que a dimensão de W é igual ao número de colunas pivot na matriz escalonada reduzida. Olhando para MER , vemos que há 3 pivôs (um em cada uma das três primeiras linhas). Então, dim(W) = 3 .
Em espaços vetoriais, existe uma relação importante chamada teorema da dimensão que nos diz:
dim(W) + dim(W^perp) = n
Já sabemos que dim(W) = 3 e n = 8 . Substituindo na fórmula:
3 + dim(W^perp) = 8
Resolvendo para dim(W^perp) :
dim(W^perp) = 8 - 3 = 5

Resposta

(a) n = 8
(b) A dimensão de W^perp é 5.

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