Dados a matriz e o vetor b=(c2 k -1 0), indique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsa e justifique.
(a) Existem exatamente dois valores de a para os quais independentemente dos valores de k o sistema A x=b tem solução única.
(b) Para a+k neq 914, o sistema A x=b tem solução vazia.
(c) Para cada a tal que det A neq 0, existe apenas um valor de k para o qual o sistema A x=b tem infinitas soluções.
(d) A dimensão do espaço solução do sistema homogêneo A x=0 depende do valor de a e pode ser qualquer um dos valores 0,1,2,3 ou 4 .
Passo 1
Resumindo, temos a matriz
e o vetor
e queremos decidir se cada afirmação sobre existência e unicidade de soluções de (bem como a dimensão do espaço solução do homogêneo) é verdadeira ou falsa. Para isso vamos usar cálculo de , análise de posto e o Teorema de Rouché–Capelli.
Passo 2
Vamos calcular det A em função de a. Expandindo por cofatores na quarta linha:
det A =2underbracedet!2&-2&03&-3&11&-2&3 -4underbracedet!2&1&03&-1&11&-a&3 +aunderbracedet!2&1&-23&-1&-31&-a&-2
Cálculo rápido desses três determinantes dá, respectivamente, 2, 2a-14 e 5. Logo
det A =2cdot2 ;-;4(2a-14);+;acdot5 =4-8a+56+5a =60-3a =3(20-a)
Passo 3
Como det A=0 se e somente se a=20, concluímos:
Para aneq20, det Aneq0 e A é invertível, de modo que Avec x=vec b tem sempre solução única, independentemente de k.
Para a=20, det A=0 e o sistema pode ter ou nenhuma ou infinitas soluções, dependendo de k.
(a) Diz que existem exatamente dois valores de a para os quais, independentemente de k, o sistema tem solução única. Na verdade a solução única ocorre para todo aneq20, isto é, para infinitos valores de a, não apenas dois.
Portanto (a) é falsa.
Passo 4
Agora analisamos o caso a=20. Para ver quando há compatibilidade, montamos o sistema aumentado e reduzimos. O cálculo mostra que o posto de A cai de 4 para 3 e que a condição de consistência é
88-32k=0 Long<=ftrightarrow k=tfrac114
Se a=20 e k=tfrac114, então rank(A)=rank(A|vec b)=3<4, logo há infinitas soluções.
Se a=20 e kneqtfrac114, então rank(A|vec b)=4>rank(A), logo nenhuma solução.
(b) Afirmar que para a+kneq91/4 o sistema é sempre inconsistente é claramente falso, pois para aneq20 (e qualquer k) o sistema é consistente e único.
Logo (b) é falsa.
(c) Diz que para cada a com det Aneq0 existe exatamente um k que torna o sistema infinito. Mas se det Aneq0, o sistema nunca é infinito: é sempre único para todo k.
Logo (c) é falsa.
Passo 5
O espaço solução do homogêneo Avec x=vec0 tem dimensão igual a 4-rank(A). Como
rank(A)= 4,&aneq20, 3,&a=20,
a nulidade é
dimker A= 0,&aneq20, 1,&a=20
Não há como obter dimensões 2,3 ou 4.
Portanto (d) é falsa.