Existe a in R tal que o sistema
l x-y+z+2 w=0 2 x-y+3 z-w=0 a x+y+z+w=0
admita apenas a solução trivial? Por quê? Lembre-se que a solução trivial é o vetor nulo.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema homogêneo com três equações e quatro incógnitas
O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares homogêneos: sabemos que o espaço de soluções tem dimensão
onde é a matriz de coeficientes. Para que o sistema admita apenas a solução trivial, precisaríamos de , ou seja .

Passo 2

Na nossa situação temos n=4 incógnitas, mas apenas três equações, logo a matriz A é 3times4. O posto (rank) de A satisfaz
rank(A)<=min(3,4)=3<4
Isto significa que nunca conseguiremos ter rank(A)=4. Portanto
dim(ker A)=4-rank(A)>=4-3=1>0,
ou seja o sistema sempre tem pelo menos uma dimensão de liberdade de solução além da trivial.

Resposta

Não existe nenhum valor de a que torne a única solução do sistema a trivial, pois a matriz de coeficientes é 3times4 e seu posto máximo é 3, menor que o número de incógnitas 4.

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