Sendo \underset{\sim}{C}=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 5 & -2\end{array}\right], \underset{\sim}{D}=\left[\begin{array}{cc}-3 & 4 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] e o escalar \alpha=5 :
Verifique que (\alpha \underset{\sim}{C})^{T}=\alpha {\underset{\sim}{C}}^{T}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a propriedade de transposição em relação à multiplicação por escalar, ou seja, mostrar que
(\alpha \mathbf{C})^T \;=\;\alpha\,\mathbf{C}^T
sendo \displaystyle \mathbf{C}=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 5 & -2\end{pmatrix} e \alpha=5. Usaremos definição de multiplicação escalar em matriz e definição de transposta.

Passo 2

Para calcular \alpha\,\mathbf{C}, multiplicamos cada entrada de \mathbf{C} por 5. Assim,
5\,\mathbf{C} = 5 \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 5 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0\\\\ 25 & -10 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora obtemos (\alpha\,\mathbf{C})^T transpondo a matriz anterior (trocando linhas por colunas):
(\alpha\,\mathbf{C})^T = \begin{pmatrix} 5 & 0\\\\ 25 & -10 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 5 & 25\\\\ 0 & -10 \end{pmatrix}.

Passo 4

Em seguida, calculamos primeiro \mathbf{C}^T e depois multiplicamos por \alpha. Temos
\mathbf{C}^T = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 5 & -2 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 5\\\\ 0 & -2 \end{pmatrix},
\alpha\,\mathbf{C}^T = 5 \begin{pmatrix} 1 & 5\\\\ 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 25\\\\ 0 & -10 \end{pmatrix}.

Passo 5

Como ambas as matrizes (\alpha\,\mathbf{C})^T e \alpha\,\mathbf{C}^T coincidem, concluímos que a propriedade está verificada:
(\alpha\,\mathbf{C})^T \;=\;\alpha\,\mathbf{C}^T.

Resposta

(\alpha\,\mathbf{C})^T \;=\;\alpha\,\mathbf{C}^T \;=\; \begin{pmatrix} 5 & 25\\\\ 0 & -10 \end{pmatrix}.

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