Usando a primeira regra composta de Simpson ( h=1 ), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
a) I=\int_{1}^{9}\left(x^{2}+3 x+10\right) d x
b) I=\int_{1}^{7}\left(x^{2}+6 x+9\right) d x

Passo 1

Estamos usando a regra composta de Simpson com h=1 para aproximar e comparar com o valor exato de
I_a = \int_{1}^{9}(x^2+3x+10)\,dx, \quad I_b = \int_{1}^{7}(x^2+6x+9)\,dx.
Vamos calcular a aproximação, depois o valor exato pela antiderivada e finalmente o erro.

Passo 2

Para o item a, dividimos [1,9] em n=8 subintervalos de comprimento h=1. Definimos x_i=1+i, i=0,\dots,8 e f(x)=x^2+3x+10. Aplicando
\int_{1}^{9}f(x)\,dx\approx \frac{h}{3}\Bigl(f(x_0)+4\sum_{i\,\mathrm{ímpar}}f(x_i)+2\sum_{i\,\mathrm{par},\,i\ne0,8}f(x_i)+f(x_8)\Bigr),í
temos os valores:
\begin{aligned} f(1)&=14,\quad f(9)=118,\\\ \sum_{i=1,3,5,7}f(x_i)&=20+38+64+98=220,\\\ \sum_{i=2,4,6}f(x_i)&=28+50+80=158. \end{aligned}
Logo a aproximação é
I_{a,\text{approx}} =\frac{1}{3}\bigl(14+4\cdot220+2\cdot158+118\bigr) =\frac{1328}{3}\approx442{,}6667.

Passo 3

Para o valor exato de I_a usamos a antiderivada
F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+10x
e calculamos
I_{a,\text{exato}} =F(9)-F(1) =\Bigl(\frac{729}{3}+\frac{243}{2}+90\Bigr) -\Bigl(\frac{1}{3}+\frac{3}{2}+10\Bigr) =\frac{1328}{3}\approx442{,}6667.
O erro é
E_a=I_{a,\text{exato}}-I_{a,\text{approx}}=0.

Passo 4

Para o item b, dividimos [1,7] em n=6 subintervalos de comprimento h=1. Definimos x_i=1+i, i=0,\dots,6 e g(x)=x^2+6x+9. Pelos mesmos cálculos:
g(1)=16,\quad g(7)=100,\quad \sum_{i=1,3,5}g(x_i)=25+49+81=155,\quad \sum_{i=2,4}g(x_i)=36+64=100,
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I_{b,\text{approx}} =\frac{1}{3}\bigl(16+4\cdot155+2\cdot100+100\bigr) =\frac{936}{3}=312.

Passo 5

Para o valor exato de I_b usamos a antiderivada
G(x)=\frac{x^3}{3}+3x^2+9x
e obtemos
I_{b,\text{exato}} =G(7)-G(1) =\Bigl(\frac{343}{3}+147+63\Bigr) -\Bigl(\frac{1}{3}+3+9\Bigr) =312.
O erro é
E_b=I_{b,\text{exato}}-I_{b,\text{approx}}=0.

Resposta

a) I_{a,\text{approx}}=\frac{1328}{3}, I_{a,\text{exato}}=\frac{1328}{3}, erro E_a=0.
b) I_{b,\text{approx}}=312, I_{b,\text{exato}}=312, erro E_b=0.

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