Usando a regra composta dos trapezios (h-1), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
a) I=\int_{1}^{5}\left(x^{2}+2 x+5\right) d x
b) I=\int_{1}^{1}\left(x^{2}+2 x+9\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que usemos a regra composta dos trapézios com passo h=1 para aproximar a integral, depois comparemos com o valor exato e calculemos o erro. Temos duas integrais:
a) \displaystyle I=\int_{1}^{5}\bigl(x^{2}+2x+5\bigr)\,dx
b) \displaystyle I=\int_{1}^{1}\bigl(x^{2}+2x+9\bigr)\,dx

Passo 2

Para a parte (a) subdividimos [1,5] com h=1. Os nós são
x_0=1,\;x_1=2,\;x_2=3,\;x_3=4,\;x_4=5.
Calculamos f(x)=x^2+2x+5 em cada nó:
f(1)=8,\quad f(2)=13,\quad f(3)=20,\quad f(4)=29,\quad f(5)=40.

Passo 3

Aplicando a fórmula composta dos trapézios,
T = \frac{h}{2}\Bigl[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{3}f(x_i)+f(x_4)\Bigr] =\frac{1}{2}\bigl[8+2(13+20+29)+40\bigr] =\frac{1}{2}\cdot172 =86.
Logo a aproximação é T=86.

Passo 4

Para o valor exato, integramos analiticamente:
\int\bigl(x^2+2x+5\bigr)\,dx =\frac{x^3}{3}+x^2+5x.
Avaliaremos de 1 a 5:
I_{\rm exato} =\Bigl(\tfrac{5^3}{3}+5^2+5\cdot5\Bigr) -\Bigl(\tfrac{1^3}{3}+1^2+5\cdot1\Bigr) =\frac{275}{3}-\frac{19}{3} =\frac{256}{3}\approx85,3333.

Passo 5

O erro absoluto da aproximação é
E = \bigl|I_{\rm exato}-T\bigr| =\Bigl|\tfrac{256}{3}-86\Bigr| =\Bigl|\tfrac{256-258}{3}\Bigr| =\frac{2}{3}\approx0,6667.

Passo 6

Para a parte (b) o intervalo é [1,1], cuja largura é zero.
– A integral exata é
\int_{1}^{1}\bigl(x^2+2x+9\bigr)\,dx=0.
– Qualquer método numérico de composite trapézios também dá aproximação zero.
– Logo o erro é 0.

Resposta

a) Aproximação T=86, valor exato \tfrac{256}{3}, erro \tfrac{2}{3}.
b) Aproximação 0, valor exato 0, erro 0.

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