Dada as medições a seguir, calcule os respectivos erros/desvios e apresente resultado final da medição.
Medição de comprimento (d) de um objeto utilizando uma régua comum de precisão 0,1 cm.
medição - \mathrm{d}=44,16 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado dá uma medição de comprimento e a precisão da régua. Quero deixar claro o que é pedido e os dados disponíveis.
  • Informação dada:
    • Medição: d = 44,16\\ \mathrm{cm}.
    • Precisão (menor divisão) da régua: r = 0,1\\ \mathrm{cm}.
  • O que pediram:
    • Calcular os erros / desvios associados à medição (isto é, a incerteza decorrente do instrumento).
    • Apresentar o resultado final da medição com a incerteza apropriada.

Passo 2

Entendendo o erro máximo (erro de resolução) da régua — explicação didática e cálculo.
  • Conceito rápido: uma régua com menor divisão r só permite ler até essa ordem; ao ler um ponto entre duas marcas, o erro máximo possível devido à resolução é metade da divisão, porque o valor real pode estar até r/2 acima ou abaixo do valor lido. Esse é um limite máximo (não é um desvio estatístico tipo desvio-padrão), é a incerteza de resolução.
  • Fórmula do erro máximo (incerteza absoluta máxima):
    \Delta_{\max}=\frac{r}{2}.
  • Aplicando com r=0,1\\ \mathrm{cm}:
    \Delta_{\max}=\frac{0,1}{2}=0,05\\ \mathrm{cm}.
  • Interpretação prática: podemos afirmar que, por causa da régua, o comprimento está em 44,16\\ \mathrm{cm} com um erro máximo \pm 0,05\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Estimando o desvio-padrão (incerteza padrão) associado à resolução — explicação didática e cálculo.
  • Comentário didático: quando não há informação adicional sobre a distribuição do erro dentro do intervalo [-r/2,+r/2], assume-se comumente uma distribuição uniforme (retangular) entre esses limites. Para uma distribuição uniforme com semi-amplitude a (ou seja, variável uniforme em [-a,+a]), o desvio-padrão é a/\sqrt{3}. Aqui a=r/2.
  • Fórmula da incerteza padrão tipo B (1σ) proveniente da resolução:
    u=\frac{r/2}{\sqrt{3}}=\frac{r}{2\sqrt{3}}.
  • Substituindo r=0,1\\ \mathrm{cm}:
    u=\frac{0,1}{2\sqrt{3}}=\frac{0,1}{2\cdot1,7320508\ldots}\approx 0,0288675\\ \mathrm{cm}.
  • Arredondamento didático: incertezas normalmente são arredondadas para uma casa significativa (ou duas se o primeiro dígito for 1). Aqui arredondamos para uma casa significativa:
    u \approx 0,03\\ \mathrm{cm}.
  • Interpretação: a incerteza padrão (desvio-padrão estimado da leitura devido à resolução) é u\approx0,03\\ \mathrm{cm}. Isso significa que, se repetíssemos medições com a mesma régua e condições, a dispersão típica devido à resolução seria dessa ordem.

Passo 4

Incerteza expandida (nível de confiança, por exemplo 95%) — explicação e cálculo.
  • Conceito: para dar um intervalo de confiança mais conservador usa-se a incerteza expandida U, obtida multiplicando a incerteza padrão por um fator de cobertura k. Um valor comum é k=2, que aproxima um nível de confiança de cerca de 95%.
  • Fórmula:
    U=k\cdot u.
  • Com k=2 e u\approx0,0288675\\ \mathrm{cm}:
    U = 2\times0,0288675\approx0,057735\\ \mathrm{cm}.
  • Arredondando (mesma regra): U\approx0,06\\ \mathrm{cm}.
  • Interpretação: com cerca de 95% de confiança, o valor real do comprimento está em 44,16\\ \mathrm{cm}\pm0,06\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Cálculo das incertezas relativas (percentuais) — explicação e cálculo.
  • Fórmula da incerteza relativa (para u):
    u_{\mathrm{rel}}=\frac{u}{|d|}.
  • Aplicando u\approx0,0288675\\ \mathrm{cm} e d=44,16\\ \mathrm{cm}:
    u_{\mathrm{rel}}=\frac{0,0288675}{44,16}\approx0,0006539\approx0,065\%.
  • Para a incerteza expandida U\approx0,057735\\ \mathrm{cm}:
    U_{\mathrm{rel}}=\frac{0,057735}{44,16}\approx0,0013078\approx0,131\%.
  • Arredondando convenientemente: u_{\mathrm{rel}}\approx0,07\% e U_{\mathrm{rel}}\approx0,13\%.

Passo 6

Como apresentar o resultado final (regras de arredondamento e formas usuais). Exemplo de expressões finais a usar.
  • Regra prática: a incerteza deve ser arredondada a uma (ou duas) figuras significativas; então o valor medido é arredondado para a mesma casa decimal da incerteza.
  • Formas usuais de apresentar (todas válidas, dependendo do que se pretende comunicar):
    • Com erro máximo (limite da resolução): d = 44,16 \pm 0,05\\ \mathrm{cm}.
    • Com incerteza padrão (1σ, tipo B): d = 44,16 \pm 0,03\\ \mathrm{cm} (incerteza padrão).
    • Com incerteza expandida (k=2, ≈95%): d = 44,16 \pm 0,06\\ \mathrm{cm}.
  • Também é útil apresentar as incertezas relativas:
    • Incerteza padrão relativa: \approx 0,07\%.
    • Incerteza expandida relativa (k=2): \approx 0,13\%.

Resposta

\Delta_{\max}=\pm 0,05\\ \mathrm{cm} (erro máximo devido à resolução)\n
u=\;0,03\\ \mathrm{cm} (incerteza padrão estimada, 1σ)\n
U_{k=2}=\;0,06\\ \mathrm{cm} (incerteza expandida, k=2, ≈95% confiança)\n
d = 44,16 \pm 0,05\\ \mathrm{cm} (com erro máximo)\n
d = 44,16 \pm 0,03\\ \mathrm{cm} (com incerteza padrão, 1σ)\n
d = 44,16 \pm 0,06\\ \mathrm{cm} (com incerteza expandida, k=2, ≈95% confiança)\n
u_{\mathrm{rel}}\approx 0,07\% e U_{\mathrm{rel}}\approx 0,13\%

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