Realize as operações com algarismos significativos e use o critério de arredondamento.
\sqrt[3]{\left(29,69 m^{3}\right)}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
O enunciado pede a raiz cúbica de \left(29,69\\ \text{m}^{3}\right). As informações relevantes são:
  • O radicando é \,29{,}69\\ \text{m}^{3}.
  • A unidade é \text{m}^{3}; a raiz cúbica vai transformar em \text{m}.
  • É necessário tratar algarismos significativos e aplicar o critério de arredondamento.

Passo 2

Quantos algarismos significativos tem o radicando e qual regra usar para raízes.
  • Relembrando: todo algarismo diferente de zero é significativo; zeros entre algarismos significativos também são significativos; zeros à direita de um decimal após algarismo não nulo são significativos. Assim, \,29{,}69 tem quatro algarismos significativos (os dígitos 2,9,6,9).
  • Regra prática para raízes: ao calcular a raiz n-ésima, o resultado deve ser informado com o mesmo número de algarismos significativos do número de entrada. Portanto o resultado deve ter 4 algarismos significativos.
  • Unidade: \sqrt[3]{\text{m}^{3}}=\text{m}. Então a resposta final terá unidade \text{m}.

Passo 3

Estimativa inicial: localizar a raiz cúbica aproximada usando cubos conhecidos.
  • Sabendo que 3^{3}=27 e 3{,}1^{3}= ? Vamos calcular:
3{,}1^{3}=3{,}1\cdot3{,}1\cdot3{,}1=29{,}791.
  • Nosso radicando 29{,}69 está entre 27 e 29{,}791, portanto a raiz cúbica está entre 3 e 3{,}1, mais precisamente entre 3{,}09 e 3{,}10. Para refinar, calculemos 3{,}09^{3}. Usamos a fórmula do cubo de diferença (a-b)^3:
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.
Aplicando com a=3{,}1 e b=0{,}01:
3{,}09^{3}=(3{,}1-0{,}01)^3=3{,}1^3-3\cdot3{,}1^2\cdot0{,}01+3\cdot3{,}1\cdot(0{,}01)^2-(0{,}01)^3.
Agora os números:
3{,}1^3=29{,}791, \quad 3{,}1^2=9{,}61,
3\cdot9{,}61\cdot0{,}01=0{,}2883, \quad 3\cdot3{,}1\cdot(0{,}01)^2=3\cdot3{,}1\cdot0{,}0001=0{,}00093, \quad (0{,}01)^3=0{,}000001.
Substituindo:
3{,}09^{3}=29{,}791-0{,}2883+0{,}00093-0{,}000001=29{,}503629.
Portanto 3{,}09^{3}\approx29{,}503629 e 3{,}10^{3}=29{,}791. Nosso objetivo 29{,}69 está entre esses dois valores.

Passo 4

Interpolação linear entre 3{,}09 e 3{,}10 para aproximar a raiz cúbica.
  • Vamos estimar a raiz x por interpolação linear usando os pontos (x,f(x)) com x_1=3{,}09, f(x_1)=29{,}503629 e x_2=3{,}10, f(x_2)=29{,}791. A fração da diferença é
\text{frac}=\frac{29{,}69-29{,}503629}{29{,}791-29{,}503629}.
Calculemos numericamente:
29{,}69-29{,}503629=0{,}186371,
29{,}791-29{,}503629=0{,}287371.
Logo
\text{frac}=\frac{0{,}186371}{0{,}287371}\approx0{,}6488.
Aumentamos x_1 em essa fração do intervalo x_2-x_1=0{,}01:
x\approx 3{,}09+0{,}6488\cdot0{,}01=3{,}09+0{,}006488\approx3{,}096488\approx3{,}0965.

Passo 5

Verificação rápida (cálculo do cubo de 3{,}0965) para confirmar aproximação.
  • Primeiro calcular (3{,}0965)^2. Uma forma prática é usar 3{,}0965=(3{,}1-0{,}0035) e expandir, ou multiplicar diretamente; obtém-se
(3{,}0965)^2\approx9{,}58831225.
  • Multiplicando pelo próprio 3{,}0965:
(3{,}0965)^3=(3{,}0965)^2\cdot3{,}0965\approx9{,}58831225\cdot3{,}0965\approx29{,}6902089\approx29{,}69021.
O valor obtido é muito próximo de 29{,}69, portanto x\approx3{,}0965 é uma boa aproximação da raiz cúbica.

Passo 6

Aplicar a regra de algarismos significativos e arredondar.
  • Como o radicando 29{,}69 tem quatro algarismos significativos, a regra diz que a raiz deve ser informada com quatro algarismos significativos.
  • A aproximação encontrada foi 3{,}0965 (cinco algarismos significativos). Para reduzir para quatro, mantemos os quatro primeiros dígitos significativos 3,0,9,6 e olhamos o próximo dígito (o quinto), que é 5. Aplicando o critério usual de arredondamento “arredonda-se para o mais próximo; em caso de exatamente 5 (seguido apenas de zeros) arredonda-se para cima”, o dígito 6 aumenta em uma unidade. Assim
3{,}0965\\ \text{(5 alg. sig.)}\longrightarrow 3{,}097\\ \text{(4 alg. sig.)}.
  • Acrescentando a unidade, e lembrando a unidade resultante é \text{m}, a resposta final é \,3{,}097\\ \text{m}.

Resposta

3{,}097\\ \text{m}

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