(Valor 1 ponto) Inverter a ordem de integração na integral integral-2^3 integral0^-x^2+x+6 f(x, y) d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração na integral integral-2^3 integral0^-x^2+x+6 f(x, y) , dy , dx. Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, e para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração de dy , dx para dx , dy. Isso envolve redesenhar a região de integração no plano XY e ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração. Temos x variando de -2 a 3 e, para cada x, y varia de 0 até -x^2 + x + 6. Vamos desenhar isso no plano XY para visualizar melhor.

Passo 3

Desenhando y = -x^2 + x + 6, que é uma parábola aberta para baixo. Os limites de x são de -2 a 3, então queremos a área abaixo dessa parábola entre esses valores de x e acima de y = 0.

Passo 4

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar x em termos de y. Vamos resolver a equação y = -x^2 + x + 6 para x:
-x^2 + x + 6 = y Rightarrow x^2 - x - (6 - y) = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática para x:
x = 1 pm raiz1 + 4(6 - y)2 = 1 pm raiz25 - 4y2
Isso nos dá as funções de x em termos de y.

Passo 6

Agora, identificamos os limites de y. Como y varia de 0 até o vértice da parábola. Encontramos o valor máximo de y substituindo x na expressão y = -x^2 + x + 6. O vértice ocorre em x = 12:
ymáx = -(12)^2 + 12 + 6 = -14 + 12 + 6 = 14 + 6 = 254 = 6.25 á
Então, y varia de 0 a 6.25.

Passo 7

Para cada y fixo, x varia desde a parte esquerda da parábola até a parte direita. Usando as soluções da equação quadrática:
xesquerda = 1 - raiz25 - 4y2
xdireita = 1 + raiz25 - 4y2

Passo 8

Agora, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida:
integral0^6.25 integral1 - raiz25 - 4y2^1 + raiz25 - 4y2 f(x, y) , dx , dy

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida é:
integral0^6.25 integral1 - raiz25 - 4y2^1 + raiz25 - 4y2 f(x, y) , dx , dy

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