(Valor 1 ponto) Inverter a ordem de integração na integral
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração na integral
. Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, e para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração de
para
. Isso envolve redesenhar a região de integração no plano XY e ajustar os limites de integração de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração. Temos
variando de
a
e, para cada
,
varia de
até
. Vamos desenhar isso no plano XY para visualizar melhor.
Passo 3
Desenhando
, que é uma parábola aberta para baixo. Os limites de
são de
a
, então queremos a área abaixo dessa parábola entre esses valores de
e acima de
.
Passo 4
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Vamos resolver a equação
para
:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática para
:
Isso nos dá as funções de
em termos de
.
Passo 6
Agora, identificamos os limites de
. Como
varia de
até o vértice da parábola. Encontramos o valor máximo de
substituindo
na expressão
. O vértice ocorre em
:
Então,
varia de
a
.
Passo 7
Para cada
fixo,
varia desde a parte esquerda da parábola até a parte direita. Usando as soluções da equação quadrática:
Passo 8
Agora, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida:
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida é: