Dada a mudança de coordenadas lu=e^x cos y v=e^x sen y, trace a imagem das retas
y=d.

Passo 1

O enunciado define a mudança de coordenadas
u = e^xcos y, v = e^xsin y,
e pede a imagem, no plano (u,v), das retas y = d. O conteúdo aqui é entender que essa transformação associa a cada par (x,y) coordenadas polares (r,theta) com r=e^x e theta=y.

Passo 2

Observe que podemos reescrever
r = e^x, theta = y,
de modo que
(u,v) = (rcos theta,,rsin theta)
Ou seja, o par (u,v) está em coordenadas polares com raio r>0 e ângulo theta.

Passo 3

Agora, se fixamos y=d, então theta=d é uma constante. A reta y=d em (x,y) corresponde a variar xinR mantendo theta=d. Logo r=e^x varia em (0,infty).

Passo 4

Isso significa que a imagem de y=d é o conjunto de pontos em coordenadas polares com ângulo fixo d e raio positivo arbitrário. Em coordenadas cartesianas:
(u,v) ;=;l(e^xcos d,;e^xsin dr) ;=;tl(cos d,;sin dr), t=e^x>0

Resposta

A imagem da reta y=d é o semirreta que parte da origem com direção (cos d,sin d), isto é,
(u,v)mid (u,v)=t(cos d,sin d),;t>0

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