Resolva integral6^7 d xraizx^2-6 x+1 e explique o significado geométrico da integral.

Passo 1

A questão pede para calcular integral6^7 dxraizx^2-6x+1 e entender seu significado geométrico. O conteúdo aqui é integrar uma expressão do tipo integral dx/raizax^2+bx+c, e vamos precisar usar o método de completar quadrado e a fórmula de integral de integral duraizu^2-a^2.

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado dentro da raiz:
x^2-6x+1 = (x-3)^2-9+1 = (x-3)^2-8

Passo 3

Depois fazemos a troca de variável u = x-3. Quando x=6, u=3; quando x=7, u=4. Assim a integral vira
integral6^7dxraizx^2-6x+1 = integral3^4duraizu^2-8

Passo 4

Agora usamos a fórmula padrão:
integral duraizu^2-a^2 = lnl|u + raizu^2-a^2r| + C,
com a=2raiz2. Aplicando nos limites:
integral3^4duraizu^2-8 = l[lnl(u + raizu^2-8r)r]3^4 = lnl(4+raiz16-8r) - lnl(3+raiz9-8r)

Passo 5

Isso dá
ln(4+2raiz2) - ln(3+1) = ln(4+2raiz2) - ln 4 = ln4+2raiz24 = ln! ,l(1+tfracraiz22r) = ln2+raiz22

Passo 6

Geometricamente, note que ao definir u=2raiz2cosh t a integral integral du/raizu^2-(2raiz2)^2 se transforma em integral dt. Ou seja, ela mede a variação do ângulo hiperbólico (ou área do setor hiperbólico) de um ramo da hipérbole de equação u^2-v^2=(2raiz2)^2 ao passar de u=3 para u=4. Esse ângulo hiperbólico é diretamente a função t=arccosh(u/(2raiz2)).

Resposta

ln2+raiz22

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