Resolva e explique o significado geométrico da integral.
Passo 1
A questão pede para calcular e entender seu significado geométrico. O conteúdo aqui é integrar uma expressão do tipo , e vamos precisar usar o método de completar quadrado e a fórmula de integral de .
Passo 2
Primeiro completamos o quadrado dentro da raiz:
Passo 3
Depois fazemos a troca de variável . Quando , ; quando , . Assim a integral vira
Geometricamente, note que ao definir u=2raiz2cosh t a integral integral du/raizu^2-(2raiz2)^2 se transforma em integral dt. Ou seja, ela mede a variação do ângulo hiperbólico (ou área do setor hiperbólico) de um ramo da hipérbole de equação u^2-v^2=(2raiz2)^2 ao passar de u=3 para u=4. Esse ângulo hiperbólico é diretamente a função t=arccosh(u/(2raiz2)).