Dada: f(x, y)=5 x y^2-3 x^2 y^3, Obtenha:
O gradiente no ponto (-1 ;-12)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função $ f(x, y) = 5xy^2 - 3x2y3 $ e pede para a gente encontrar o gradiente dessa função no ponto $ \left(-1, -\frac{1}{2}\right) $. O gradiente é basicamente um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função em um ponto específico. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como $ f(x, y) $, a derivada parcial em relação a $ x $ é como se estivéssemos considerando $ y $ como uma constante e derivando em relação a $ x $. O mesmo vale para a derivada parcial em relação a $ y $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que vamos chamar de $ f_x $:
f
Ao derivar $ 5xy^2 $ em relação a $ x $, tratamos $ y^2 $ como constante, então:
x
Agora, derivando $ -3x2y3 $ em relação a $ x $:
fx
Então, juntando tudo:
fx = partialpartial x(5xy^2 - 3x^2y^3)

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, chamada de $ f_y $:
f
Derivando $ 5xy^2 $ em relação a $ y $:
y
Derivando $ -3x2y3 $ em relação a $ y $:
fy
Então, temos:
fy = partialpartial y(5xy^2 - 3x^2y^3)

Passo 5

Com as derivadas parciais $ f_x $ e $ f_y $ encontradas, agora vamos montar o vetor gradiente:
fx

Passo 6

Agora vamos substituir o ponto $ \left(-1, -\frac{1}{2}\right) $ nas expressões do gradiente para encontrar os valores numéricos:
(-1, -12)
Primeiro, vamos calcular $ f_x $ no ponto:
x = -1 e y = -12
Calculando cada parte:
fx
fx = 5(-12)^2 - 6(-1)(-12)^3
Somando:
5(14) = 54

Passo 7

Agora, vamos calcular $ f_y $ no mesmo ponto:
fy
Calculando cada parte:
fy = 10(-1)(-12) - 9(-1)^2(-12)^2
10(-1)(-12) = 10 times 12 = 5
Somando:
-9(1)(14) = -94

Resposta

O gradiente da função $ f(x, y) = 5xy^2 - 3x2y3 $ no ponto $ \left(-1, -\frac{1}{2}\right) $ é:
f(x, y) = 5xy^2 - 3x^2y^3

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