Dada:
, Obtenha:
gradiente no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função $ f(x, y) = 5xy^2 - 3x2y3 $ e pede para a gente encontrar o gradiente dessa função no ponto $ \left(-1, -\frac{1}{2}\right) $. O gradiente é basicamente um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função em um ponto específico. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como $ f(x, y) $, a derivada parcial em relação a $ x $ é como se estivéssemos considerando $ y $ como uma constante e derivando em relação a $ x $. O mesmo vale para a derivada parcial em relação a $ y $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que vamos chamar de $ f_x $:
Ao derivar $ 5xy^2 $ em relação a $ x $, tratamos $ y^2 $ como constante, então:
Agora, derivando $ -3x2y3 $ em relação a $ x $:
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, chamada de $ f_y $:
Derivando $ 5xy^2 $ em relação a $ y $:
Derivando $ -3x2y3 $ em relação a $ y $:
Então, temos:
Passo 5
Com as derivadas parciais $ f_x $ e $ f_y $ encontradas, agora vamos montar o vetor gradiente:
Passo 6
Agora vamos substituir o ponto $ \left(-1, -\frac{1}{2}\right) $ nas expressões do gradiente para encontrar os valores numéricos:
Primeiro, vamos calcular $ f_x $ no ponto:
Calculando cada parte:
Somando:
Passo 7
Agora, vamos calcular $ f_y $ no mesmo ponto:
Calculando cada parte:
Somando:
Resposta
O gradiente da função $ f(x, y) = 5xy^2 - 3x2y3 $ no ponto $ \left(-1, -\frac{1}{2}\right) $ é: