Mostre que, para toda solução da EDO
que se escreva na forma
(
diferenciável),
é constante.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é
, onde
é um número real. A questão quer que a gente mostre que, se uma solução dessa EDO pode ser escrita na forma
, onde
é uma função diferenciável, então essa função
tem que ser constante. Ou seja,
não muda com
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma solução de uma EDO. Uma função
é uma solução da EDO
se, ao derivarmos
em relação a
, o resultado for igual a
.
Passo 3
Agora, queremos ver o que acontece se escrevemos
como
. Vamos substituir essa forma na EDO e ver o que isso nos diz sobre
.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
. Usamos a regra do produto para derivadas:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Segundo a EDO, sabemos que
. Então, substituindo
pela forma que assumimos:
Passo 6
Agora, igualamos as duas expressões para
:
Passo 7
Podemos simplificar essa equação subtraindo
de ambos os lados:
Passo 8
Como
nunca é zero para nenhum valor de
, a única maneira dessa equação ser verdadeira é se
.
Passo 9
Se a derivada de
é zero, isso significa que
é uma função constante. Ou seja,
, onde
é uma constante real.
Resposta
Portanto, mostramos que se uma solução da EDO
pode ser escrita na forma
, então a função
deve ser constante.