Mostre que, para toda solução da EDO
d yd x=alpha y, alpha in R
que se escreva na forma y(x)=f(x) e^alpha x ( f diferenciável), f é constante.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é dydx = alpha y, onde alpha é um número real. A questão quer que a gente mostre que, se uma solução dessa EDO pode ser escrita na forma y(x) = f(x) e^alpha x, onde f é uma função diferenciável, então essa função f tem que ser constante. Ou seja, f não muda com x.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma solução de uma EDO. Uma função y(x) é uma solução da EDO dydx = alpha y se, ao derivarmos y(x) em relação a x, o resultado for igual a alpha y(x).

Passo 3

Agora, queremos ver o que acontece se escrevemos y(x) como f(x) e^alpha x. Vamos substituir essa forma na EDO e ver o que isso nos diz sobre f(x).

Passo 4

Vamos derivar y(x) = f(x) e^alpha x em relação a x. Usamos a regra do produto para derivadas:
dydx = f'(x) e^alpha x + f(x) cdot alpha e^alpha x
Aqui, f'(x) é a derivada de f(x) em relação a x.

Passo 5

Segundo a EDO, sabemos que dydx = alpha y. Então, substituindo y(x) pela forma que assumimos:
dydx = alpha f(x) e^alpha x

Passo 6

Agora, igualamos as duas expressões para dydx:
f'(x) e^alpha x + alpha f(x) e^alpha x = alpha f(x) e^alpha x

Passo 7

Podemos simplificar essa equação subtraindo alpha f(x) e^alpha x de ambos os lados:
f'(x) e^alpha x = 0

Passo 8

Como e^alpha x nunca é zero para nenhum valor de x, a única maneira dessa equação ser verdadeira é se f'(x) = 0.

Passo 9

Se a derivada de f(x) é zero, isso significa que f(x) é uma função constante. Ou seja, f(x) = C, onde C é uma constante real.

Resposta

Portanto, mostramos que se uma solução da EDO dydx = alpha y pode ser escrita na forma y(x) = f(x) e^alpha x, então a função f(x) deve ser constante.

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