) Mostre que a altura do tetraedro A B C D relativa a base A B C é
h & =| A B, A C, A D] mid|A B times A C| (obs: V tutroudro & =13( area triang<= A B C) cdot h

Passo 1

Resumo do enunciado e do que vamos usar: temos um tetraedro ABCD, queremos a altura h relativa à base ABC. Para isso vamos usar conceitos de produto vetorial (para obter a área da base), produto misto (para o volume do paralelepípedo e do tetraedro) e a fórmula de volume de um tetraedro V=⅓·(área da base)·h.

Passo 2

Cálculo do volume do tetraedro pelo produto misto: definimos AB=u, AC=v, AD=w. O volume do paralelepípedo gerado por u,v,w é dado por l|[u,v,w]r|, onde [u,v,w]=ucdot(vtimesw). Como o tetraedro corresponde a 1/6 desse paralelepípedo,
Vtetr=16l|[u,v,w]r|

Passo 3

Expressão da área da base e uso da fórmula de volume: a área do triângulo ABC é
areaABC=12|utimesv|
Pela fórmula dada,
Vtetr=13(areaABC),h=13cdot12|utimesv|,h=16|utimesv|,h

Passo 4

Igualando as duas expressões de Vtetr e resolvendo para h:
16l|[u,v,w]r|=16|utimesv|,hLongrightarrow h=l|[u,v,w]r||utimesv|

Passo 5

Voltando aos vetores originais, obtemos
h=l|[AB,AC,AD]r||ABtimesAC|,
que é exatamente a fórmula pedida.

Resposta

h=l|[AB,AC,AD]r||ABtimesAC|

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