Dada a palavra AMORECO, responda as seguintes questões:
Quantos são os anagramas que tem as letras MeO juntas?
Quantos são os anagramas que tem as letras MeO juntas?
Passo 1
A palavra AMORECO tem 7 letras, sendo que a letra O aparece 2 vezes. O conteúdo aqui é permutações com repetição e contagem de arranjos em que duas letras devem ficar juntas. Vamos precisar usar também o princípio de inclusão-exclusão para lidar com as duas ocorrências de O.
Passo 2
O total de anagramas distintos da palavra é dado por permutação com repetição:
Passo 3
Para contar os anagramas em que M e O ficam juntos, consideramos primeiro as duas letras O como distintas (O₁ e O₂) e definimos os conjuntos:
– A₁ = anagramas em que M e O₁ são adjacentes
– A₂ = anagramas em que M e O₂ são adjacentes
– A₁ = anagramas em que M e O₁ são adjacentes
– A₂ = anagramas em que M e O₂ são adjacentes
Passo 4
Calculamos:
– |A₁| = número de permutações de bloco (M,O₁) + os outros 5 elementos = 2·6! = 1440
– |A₂| = 1440
– |A₁ ∩ A₂| = M fica entre O₁ e O₂, formando bloco de 3 letras, em 2 ordens internas possíveis, mais os outros 4 elementos: 2·5! = 240
Aplicando inclusão-exclusão:
– |A₁| = número de permutações de bloco (M,O₁) + os outros 5 elementos = 2·6! = 1440
– |A₂| = 1440
– |A₁ ∩ A₂| = M fica entre O₁ e O₂, formando bloco de 3 letras, em 2 ordens internas possíveis, mais os outros 4 elementos: 2·5! = 240
Aplicando inclusão-exclusão:
Passo 5
Como O₁ e O₂ são na verdade idênticas, dividimos por 2! para obter o número de anagramas distintos em que M está junto de pelo menos um O:
Resposta
1320