Dada a parábola y=x^2+2 x+4 :
Determine o lactum rectum da parábola.

Passo 1

O enunciado dá a parábola
y = x^2 + 2x + 4
e pede o latus rectum, que é o segmento de reta que passa pelo foco, perpendicular ao eixo de simetria, com comprimento 4p, onde p é a distância do vértice ao foco. Para encontrar p e o vértice, vamos primeiro reescrever a parábola em forma canônica.

Passo 2

Completamos o quadrado em y = x^2 + 2x + 4:
y = x^2 + 2x + 1 - 1 + 4 = (x+1)^2 + 3
Logo o vértice é l(h,kr)=(-1,3) e podemos escrever
(x+1)^2 = y - 3
Comparando com (x-h)^2=4p(y-k), vemos que 4p=1, portanto
p = tfrac14

Passo 3

O foco fica no vértice deslocado de p ao longo do eixo de simetria (vertical), isto é,
foco = l(-1,,3+tfrac14r) = l(-1,,tfrac134r)
O latus rectum é perpendicular ao eixo vertical e passa pelo foco, logo é a reta
y = tfrac134

Passo 4

Para achar os extremos do latus rectum, substituímos y=tfrac134 na parábola:
x^2+2x+4 = tfrac134 Longrightarrow 4x^2+8x+16 = 13 Longrightarrow 4x^2+8x+3=0
A solução é
x = -8pmraiz64-488 = -8pm48,
ou seja x=-tfrac12 e x=-tfrac32. Assim os extremos são
l(-tfrac12,tfrac134r) e l(-tfrac32,tfrac134r),
e o comprimento do latus rectum é
l|-tfrac12 - (-tfrac32)r| = 1

Resposta

O latus rectum tem comprimento 1 e está no segmento de reta entre os pontos
l(-tfrac32,,tfrac134r) e l(-tfrac12,,tfrac134r).

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