Dado o plano pi: x+y+z=3 e a reta y=2 x+1, z=3 x+2,
achar a projeção de r em pi.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal da reta
;r:;y=2x+1,;z=3x+2
no plano
;pi:;x+y+z=3.
O conteúdo é calcular a projeção de um vetor direção em um plano e projetar um ponto da reta no plano para obter a reta projetada.

Passo 2

Parametrizamos r tomando x=t. Então
r(t) = l(t,;2t+1,;3t+2r),
e o vetor direção é
d=(1,2,3).
O vetor normal de pi é
n=(1,1,1).

Passo 3

Para achar a direção projetada dpi subtraímos de d sua componente ao longo de n:
dpi =d -dcdotnncdotn, n =(1,2,3) -63,(1,1,1) =(-1,0,1)

Passo 4

Escolhemos um ponto da reta, por exemplo em t=0:
P0=(0,1,2).
Para projetá-lo em pi calculamos
d=P0cdotn-3ncdotn =(0+1+2)-33=0,
logo
P=P0 - d,n=(0,1,2),
ou seja, P0 já está em pi.

Passo 5

A projeção de r em pi é a reta que passa por P=(0,1,2) com direção dpi=(-1,0,1). Em forma paramétrica:
ell(s)= (0,1,2) + s,(-1,0,1)

Resposta

A projeção de r em pi é
ell(s)=l(-s,;1,;2+sr),
ou, de modo equivalente, o conjunto
(x,y,z)mid y=1, x+z=2

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