Dada a parametrização lx=a e^tau cos tau y=b e^tau sen tau, onde a, b in R, calcular:
a. A derivada d yd x, tanto em função do parâmetro t, como das coordenadas x e y.
b. O vínculo entre as coordenadas x e $y.

Passo 1

Temos a curva parametrizada por
x = a,e^taucostau, y = b,e^tausintau,
com parâmetro tau e constantes a,binR.
Queremos:
a) dfracdydx em função de tau e também expresso apenas em x,y.
b) O vínculo (equação cartesiana) que relaciona x e y eliminando tau.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas paramétricas:
dxdtau = a,ddtaul(e^taucostaur) = a,e^tau(costau - sintau),
dydtau = b,ddtaul(e^tausintaur) = b,e^tau(sintau + costau)
Logo,
dydx = tfracdydtautfracdxdtau = b,e^tau(sintau + costau)a,e^tau(costau - sintau) = ba,sintau + costaucostau - sintau

Passo 3

Para escrever dfracdydx em função de x,y, note que
xa=e^taucostau, yb=e^tausintau,
de onde
sintau+costau = e^-taul(yb + xar), costau-sintau = e^-taul(xa - ybr)
Assim
sintau + costaucostau - sintau = yb + xaxa - yb = a,y + b,xb,x - a,y,
e portanto
dydx = ba;a,y + b,xb,x - a,y

Passo 4

Para eliminar tau e obter a equação cartesiana:
  1. Somando quadrados,
l(xar)^2 + l(ybr)^2 = e^2tau(cos^2tau + sin^2tau) = e^2tau
  1. Fazendo quociente,
tantau = tfracybtfracxa = a,yb,x Longrightarrow tau = arctan!l(a,yb,xr)
Substituindo tau do segundo na expressão do primeiro,
l(xar)^2 + l(ybr)^2 = expl(2,arctan!l(tfraca,yb,xr)r)
Essa é a equação cartesiana que liga x e y.

Resposta

a)
dydx = ba,sintau + costaucostau - sintau e dydx = ba;a,y + b,xb,x - a,y
b)
l(tfracxar)^2 + l(tfracybr)^2 = exp!l(2,arctan!l(tfraca,yb,xr)r)

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