\sum_{k=0}{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right){k}

Passo 1

Beleza, vamos resolver a soma infinita sumk=0^+infty(12)^k. Isso faz parte da matéria de séries infinitas, mais especificamente das progressões geométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar os termos de uma progressão geométrica infinita quando a razão é menor que 1 em módulo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é uma progressão geométrica. Em uma progressão geométrica, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante r. No nosso caso, cada termo é (12)^k, então a razão r é 12.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a fórmula para a soma de uma progressão geométrica infinita. Quando |r| < 1, a soma S é dada por:
S = a11 - r
onde a1 é o primeiro termo da série.

Passo 4

No nosso exercício, o primeiro termo a1 é quando k = 0:
a1 = (12)^0 = 1
E já identificamos que r = 12.

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da soma:
S = 11 - 12 = 112 = 2

Resposta

A soma da série infinita é 2.

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