\sum_{k=0}{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right){k}
Passo 1
Beleza, vamos resolver a soma infinita
. Isso faz parte da matéria de séries infinitas, mais especificamente das progressões geométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar os termos de uma progressão geométrica infinita quando a razão é menor que 1 em módulo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que é uma progressão geométrica. Em uma progressão geométrica, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante
. No nosso caso, cada termo é
, então a razão
é
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a fórmula para a soma de uma progressão geométrica infinita. Quando
, a soma
é dada por:
onde
é o primeiro termo da série.
Passo 4
No nosso exercício, o primeiro termo
é quando
:
E já identificamos que
.
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula da soma:
Resposta
A soma da série infinita é
.