1. Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando. Você consegue “consertar” as afirmações falsas?
    a) A equação cos x=x^2 tem, pelo menos, duas soluções distintas no intervalo ]-pi, pi[.
    b) A equação ln x-x=-2 não tem solução no intervalo [e^-2, e^2].
    c) Dado p(x)=x^4+a x^3+b x^2+c x+d, com a, b, c, d in R, e tal que p(-1)=-3, p(0)=4 e p(2)=-5, podemos deduzir que p tem exatamente 4 raízes reais distintas.
    d) Se f:[a, b] R é uma função contínua tal que f(a) f(b) <= 0, então existe c in] a, b [ tal que f(c)=0.
    e) Para todo k in[-2,4], a equação x^3-x^2+x-2=k tem solução no intervalo x in[0,2].

Passo 1

O enunciado traz cinco afirmações sobre existência de soluções de equações envolvendo funções contínuas, usando essencialmente o Teorema do Valor Intermediário de Bolzano. Vamos aplicar esse teorema em cada caso, avaliando mudanças de sinal das funções nos intervalos dados para decidir verdadeiro ou falso e, quando for falso, apresentar uma correção.

Passo 2

a) Defina f(x)=cos x - x^2. Note que f é contínua e par. Calculamos
f(0)=cos0-0^2=1>0, f(1)=cos1-1approx0,54-1=-0,46<0
Como f(0)>0 e f(1)<0, por Bolzano existe c1in(0,1) com f(c1)=0. Por paridade, existe também c2=-c1in(-1,0) com f(c2)=0. Não há mais trocas de sinal em (1,pi) nem em (-,pi,-1). Logo, há exatamente duas soluções em ]-pi,pi[. A afirmação é verdadeira.

Passo 3

b) Considere g(x)=ln x - x +2, contínua em [ e^-2, e^2]. Calculamos
g( e^-2)=-2 - e^-2 +2=- e^-2<0,
g(1)=0 -1 +2=1>0,
g( e^2)=2 - e^2 +2=4- e^2<0
Há mudança de sinal em ( e^-2,1) e em (1, e^2), portanto duas soluções nesse intervalo. A afirmação “não tem solução” é falsa. Correção: “a equação ln x - x=-2 tem pelo menos duas soluções em [ e^-2, e^2]”.

Passo 4

c) Seja p(x)=x^4+a x^3+b x^2+c x+d com p(-1)=-3<0, p(0)=4>0, p(2)=-5<0. Por Bolzano há uma raiz em (-1,0) e outra em (0,2), isto é, pelo menos duas raízes reais distintas. Não podemos afirmar que haja exatamente quatro raízes reais distintas, pois as outras duas podem ser complexas conjugadas. A afirmação é falsa. Correção: “podemos deduzir que p tem pelo menos duas raízes reais distintas”.

Passo 5

d) O Teorema de Bolzano diz que, se f é contínua em [a,b] e f(a),f(b)<0, então existe cin(a,b) tal que f(c)=0. A hipótese f(a),f(b)<=0 permite f(a)=0 ou f(b)=0, caso em que a raiz pode estar em a ou em b, não necessariamente em (a,b). Por exemplo, f(x)=x em [0,1] tem f(0),f(1)=0 mas a única raiz é x=0notin(0,1). A afirmação é falsa. Correção: trocar “ <=0” por “ <0” ou permitir cin[a,b] quando usar “ <=0”.

Passo 6

e) Defina h(x)=x^3 - x^2 + x -2, contínua em [0,2]. Temos
h(0)=-2, h(2)=8-4+2-2=4
Como -2<= k<=4, para cada k cin[0,2] com h(c)=k por Bolzano. A afirmação é verdadeira.

Resposta

a) Verdadeira.
b) Falsa. Correção: a equação tem pelo menos duas soluções em [ e^-2, e^2].
c) Falsa. Correção: p tem pelo menos duas raízes reais distintas.
d) Falsa. Correção: exige-se f(a)f(b)<0 para garantir raiz em (a,b).
e) Verdadeira.

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