- Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando. Você consegue “consertar” as afirmações falsas?
a) A equação
tem, pelo menos, duas soluções distintas no intervalo
.
b) A equação
não tem solução no intervalo
.
c) Dado
, com
, e tal que
, podemos deduzir que
tem exatamente 4 raízes reais distintas.
d) Se
é uma função contínua tal que
, então existe
[ tal que
.
e) Para todo
, a equação
tem solução no intervalo
.
a) A equação
b) A equação
c) Dado
d) Se
e) Para todo
Passo 1
O enunciado traz cinco afirmações sobre existência de soluções de equações envolvendo funções contínuas, usando essencialmente o Teorema do Valor Intermediário de Bolzano. Vamos aplicar esse teorema em cada caso, avaliando mudanças de sinal das funções nos intervalos dados para decidir verdadeiro ou falso e, quando for falso, apresentar uma correção.
Passo 2
a) Defina
. Note que
é contínua e par. Calculamos
Como
e
, por Bolzano existe
com
. Por paridade, existe também
com
. Não há mais trocas de sinal em
nem em
. Logo, há exatamente duas soluções em
. A afirmação é verdadeira.
Passo 3
b) Considere
, contínua em
. Calculamos
Há mudança de sinal em
e em
, portanto duas soluções nesse intervalo. A afirmação “não tem solução” é falsa. Correção: “a equação
tem pelo menos duas soluções em
”.
Passo 4
c) Seja
com
,
,
. Por Bolzano há uma raiz em
e outra em
, isto é, pelo menos duas raízes reais distintas. Não podemos afirmar que haja exatamente quatro raízes reais distintas, pois as outras duas podem ser complexas conjugadas. A afirmação é falsa. Correção: “podemos deduzir que
tem pelo menos duas raízes reais distintas”.
Passo 5
d) O Teorema de Bolzano diz que, se
é contínua em
e
, então existe
tal que
. A hipótese
permite
ou
, caso em que a raiz pode estar em
ou em
, não necessariamente em
. Por exemplo,
em
tem
mas a única raiz é
. A afirmação é falsa. Correção: trocar “
” por “
” ou permitir
quando usar “
”.
Passo 6
e) Defina
, contínua em
. Temos
Como
, para cada
há
com
por Bolzano. A afirmação é verdadeira.
Resposta
a) Verdadeira.
b) Falsa. Correção: a equação tem pelo menos duas soluções em .
c) Falsa. Correção: tem pelo menos duas raízes reais distintas.
d) Falsa. Correção: exige-se para garantir raiz em
.
e) Verdadeira.
b) Falsa. Correção: a equação tem pelo menos duas soluções em
c) Falsa. Correção:
d) Falsa. Correção: exige-se
e) Verdadeira.