Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
\sigma(t)=(2 \cos t, 3 t, 5), \quad t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado dá a curva no espaço \sigma(t) = (2\cos t,\;3t,\;5), t\in[0,2\pi],
e pede um esboço. Para isso vamos interpretar cada coordenada em função de t, projetar no plano xy e notar que z é constante.

Passo 2

Projete a curva no plano xy. As componentes são
x(t)=2\cos t, \quad y(t)=3t,
com t indo de 0 a 2\pi. Isso é uma “serrilhada” horizontal: enquanto y cresce linearmente de 0 a 6\pi, x oscila entre -2 e 2 completando exatamente um ciclo de cosseno.

Passo 3

Observe que
z(t)=5
é constante. Logo toda a curva vive no plano paralelo ao plano xy situado em z=5.

Passo 4

Características do esboço no plano z=5:
– Em t=0, \sigma(0)=(2,0,5).
– Em t=\pi/2, \sigma(\pi/2)=(0,\tfrac{3\pi}{2},5).
– Em t=\pi, \sigma(\pi)=(-2,3\pi,5).
– Em t=3\pi/2, \sigma(3\pi/2)=(0,\tfrac{9\pi}{2},5).
– Em t=2\pi, \sigma(2\pi)=(2,6\pi,5).
Entre esses pontos, a curva segue a forma de uma única onda de cosseno, com setas indicando o sentido de t crescente.

Passo 5

Para desenhar:
  1. Trace o plano horizontal z=5.
  2. Marque no eixo y os valores 0, \tfrac{3\pi}{2}, 3\pi, \tfrac{9\pi}{2}, 6\pi.
  3. Para cada t, marque o ponto (x(t),y(t),5) usando x(t)=2\cos t.
  4. Una esses pontos por uma curva suave que oscila entre x=2 e x=-2.
  5. Acrescente setas que vão de t=0 até t=2\pi, mostrando o sentido de percurso.

Resposta

A curva é uma única ondulação de cosseno no plano z=5, indo de (2,0,5) até (2,6\pi,5), com x variando entre -2 e 2 e y aumentando linearmente de 0 a 6\pi.

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