Dada uma pirâmide regular triangular, sabe-se que sua altura mede 3 a cm , onde a é a medida da aresta de sua base. Então, a área total desta pirâmide, em cm ^2, vale:
a) (a^2 raiz 327) / 4
b) (a^2 raiz 109) / 2
c) (a^2 raiz 3) / 2
d) [a^2 raiz 3 cdot(2+raiz 33)] / 2
e) [a^2 raiz 3 (1+raiz 109)] / 4

Passo 1

O enunciado fala de uma pirâmide regular de base triangular, ou seja, a base é um triângulo equilátero de lado a e o vértice fica perpendicular ao centro da base. A altura da pirâmide é h=3a. A área total será a soma da área da base com a área das três faces laterais.

Passo 2

A área da base, sendo um triângulo equilátero de lado a, é
Abase = a^2raiz34

Passo 3

Para calcular a área lateral precisamos da geratriz ell de cada face (altura do triângulo isósceles lateral). Primeiro achamos a distância d do centro do triângulo equilátero até o ponto médio de um lado:
d = araiz36
Como a altura da pirâmide é h=3a, a geratriz é
ell = raizh^2 + d^2 = raiz(3a)^2 + l(araiz36r)^2 = araiz10912

Passo 4

A área de uma face lateral (triângulo de base a e altura ell) é
Alat-face = 12,a,ell = 12,a cdot araiz10912 = a^2raiz1094raiz3
Como há três faces iguais,
Alateral = 3,Alat-face = 3a^2raiz1094raiz3 = a^2raiz3274

Passo 5

Somando base e lateral:
Atotal = a^2raiz34 + a^2raiz3274 = a^24l(raiz3+raiz327r) = a^2raiz3,(1+raiz109)4

Resposta

e) a^2raiz3,(1+raiz109)4

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