Sejam A, B, C matrizes quadradas da mesma ordem e invertíveis. Em cada caso, determine uma solução X em função de A, B e C. Indique se a solução é única ou não.
A X^t B=A B-I

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
A,X^t,B ;=; A,B ;-; I
onde A e B são invertíveis. O objetivo é expressar X em função de A e B usando a invertibilidade e a propriedade (M^t)^t=M.

Passo 2

Como A e B são invertíveis, podemos isolar X^t multiplicando à esquerda por A^-1 e à direita por B^-1:
X^t = A^-1,(A,X^t,B),B^-1 = A^-1,l(A,B - Ir),B^-1

Passo 3

Para obter X basta transpor o resultado de X^t:
X =l(X^tr)^t =l(A^-1,(A,B - I),B^-1r)^t =(B^-1)^t,(A,B - I)^t,(A^-1)^t
Como (A,B - I)^t=B^tA^t-I, também podemos escrever
X = (B^-1)^t,l(B^tA^t-Ir),(A^-1)^t

Passo 4

Uma forma mais compacta usa a notação (cdot)^-t=l((cdot)^-1r)^t. Note que, se definirmos
X = I ;-; (A,B)^-t,
então
X^t = I - l((A,B)^-tr)^t = I - (A,B)^-1,
e
A,X^t,B = A,(I - (A,B)^-1),B = A,B ;-; A,(A,B)^-1B = A,B ;-; I,
o que confirma a solução.
Como cada passo envolveu apenas multiplicações pelas inversas de A e B, a solução é única.

Resposta

boxedX = I - (A,B)^-t,
única solução.

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