Dada a proposição "Para todo e qualquer valor de x, tem-se 8 x \leq 2 x^{2}+6 ", quais serão os valores possíveis de x ?

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos encontrar todos os x tais que
8x \le 2x^2 + 6.
O conteúdo aqui é resolução de inequação quadrática. Vamos reescrever tudo num único lado para aplicar o estudo de sinais de uma parábola.

Passo 2

Subtraindo 8x de ambos os lados, obtemos
2x^2 + 6 - 8x \ge 0
e, reordenando os termos, fica
2x^2 - 8x + 6 \ge 0.

Passo 3

Para achar os pontos que tornam a expressão igual a zero, resolvemos
2x^2 - 8x + 6 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-8)^2 - 4\cdot2\cdot6 = 64 - 48 = 16.
As raízes são
x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2\cdot2} = \frac{8 \pm 4}{4},
isto é,
x_1 = 1 \quad\text{e}\quad x_2 = 3.

Passo 4

Como o coeficiente de x^2 em 2x^2 - 8x + 6 é positivo 2>0, a parábola abre para cima. Logo, a expressão
2x^2 - 8x + 6
é não negativa ( >=0) para
x \le 1\quad\text{ou}\quad x \ge 3.

Resposta

Os valores de x que satisfazem a proposição são
x \in (-\infty,1] \cup [3,\infty).

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