Seja \r
\r. Verifique se \r
\r é contínua em todo \r
\r.
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede para verificar se é contínua em todo
.
O conteúdo aqui é continuidade de função vetorial: basta checar que cada componente é contínua em .
e pede para verificar se
O conteúdo aqui é continuidade de função vetorial: basta checar que cada componente é contínua em
Passo 2
Considere a primeira componente
.
Sabemos da análise de funções elementares que a função está definida em todo o domínio real e é diferenciável ali, logo contínua em
.
Sabemos da análise de funções elementares que a função
Passo 3
Agora a segunda componente
.
Isto é uma função racional cujo denominador é . Como
para todo
, o denominador nunca se anula, e assim
está definida e é contínua em todo
.
Isto é uma função racional cujo denominador é
Passo 4
Conclusão: uma função vetorial
é contínua num ponto sempre que ambas as componentes
e
são contínuas naquele ponto. Como demonstramos que
e
são contínuas em todo
, segue que
também é contínua em
.