Seja \r \vec{r}(t)=\left(\arctan t, \frac{t}{1+t^{2}}\right)\r. Verifique se \r \vec{r}\r é contínua em todo \r \mathbb{R}\r.

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial \displaystyle \vec{r}(t)=\bigl(\arctan t,\;\frac{t}{1+t^{2}}\bigr)
e pede para verificar se \vec{r} é contínua em todo \mathbb{R}.
O conteúdo aqui é continuidade de função vetorial: basta checar que cada componente é contínua em \mathbb{R}.

Passo 2

Considere a primeira componente \displaystyle f_{1}(t)=\arctan t.
Sabemos da análise de funções elementares que a função \arctan está definida em todo o domínio real e é diferenciável ali, logo contínua em \mathbb{R}.

Passo 3

Agora a segunda componente \displaystyle f_{2}(t)=\frac{t}{1+t^{2}}.
Isto é uma função racional cujo denominador é 1+t^{2}. Como 1+t^{2}>0 para todo t\in\mathbb{R}, o denominador nunca se anula, e assim f_{2} está definida e é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Conclusão: uma função vetorial \vec{r}(t)=(f_{1}(t),f_{2}(t)) é contínua num ponto sempre que ambas as componentes f_{1} e f_{2} são contínuas naquele ponto. Como demonstramos que f_{1} e f_{2} são contínuas em todo \mathbb{R}, segue que \vec{r} também é contínua em \mathbb{R}.

Resposta

\vec{r} é contínua em todo \mathbb{R}.

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