Dada a região delimitada pelas curvas y=-x^{3}+2 x+1 e y=x^{2}+1, pede-se a integral que dá o volume do sólido de rotação obtido ao girar tal região em torno da reta (não precisa resolver as integrais):
(0,7) y=0( eixo x).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de y=0 (eixo x) a região limitada pelas curvas
y=-x^3+2x+1
e
y=x^2+1.
O conteúdo aqui é o método dos discos (ou anéis): o volume é
V = \pi\int_{a}^{b}\Bigl[R(x)^2 - r(x)^2\Bigr]\,dx
onde R(x) é o raio externo e r(x) o raio interno, ambos medidos em relação a y=0.

Passo 2

Para achar os limites de integração, calculamos as interseções resolvendo
-\,x^3 + 2x + 1 \;=\; x^2 + 1
\Longrightarrow -\,x^3 - x^2 + 2x = 0
\Longrightarrow -\,x\,(x^2 + x - 2) = 0
\Longrightarrow x = 0,\quad x = -2,\quad x = 1.

Passo 3

Precisamos saber em que trechos cada curva está acima da outra:
  • Para x\in[-2,0], testa-se x=-1:
    -(-1)^3+2(-1)+1 = 0 e (-1)^2+1=2.
    Logo x^2+1 é o raio externo e -x^3+2x+1 é o raio interno.
  • Para x\in[0,1], testa-se x=0{,}5:
    -0{,}5^3+2\cdot0{,}5+1 = 1{,}875 e (0{,}5)^2+1 = 1{,}25.
    Agora -x^3+2x+1 é o raio externo e x^2+1 o interno.

Passo 4

Escrevendo o volume como soma de dois integrais de anel:
V = \pi \int_{-2}^{0} \Bigl[(x^2+1)^2 - \bigl(-x^3+2x+1\bigr)^2\Bigr]\,dx \;+\; \pi \int_{0}^{1} \Bigl[\bigl(-x^3+2x+1\bigr)^2 - (x^2+1)^2\Bigr]\,dx.

Resposta

V = \pi \int_{-2}^{0} \Bigl[(x^2+1)^2 - \bigl(-x^3+2x+1\bigr)^2\Bigr]\,dx \;+\; \pi \int_{0}^{1} \Bigl[\bigl(-x^3+2x+1\bigr)^2 - (x^2+1)^2\Bigr]\,dx.

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