Dada a região delimitada pelas curvas y=-x^{3}+2 x+1 e y=x^{2}+1, pede-se a integral que dá o volume do sólido de rotação obtido ao girar tal região em torno da reta (não precisa resolver as integrais):
(0,7) x=0( eixo y).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta x=0 a região delimitada por
y_1=-x^3+2x+1 \quad\text{e}\quad y_2=x^2+1.
Como a rotação é em torno de um eixo vertical e as curvas estão dadas em função de x, usamos o método das cascas cilíndricas, cuja fórmula geral é
V = 2\pi \int_{a}^{b} (\text{raio})(\text{altura})\,dx.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo
-x^3+2x+1 = x^2 +1 \quad\Longrightarrow\quad -x^3 -x^2 +2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad -x(x-1)(x+2)=0,
logo as abscissas de interseção são x=-2,\,0,\,1. A região está, portanto, em x\in[-2,1].

Passo 3

Em cada subintervalo determinamos quem é y_{\rm sup} e y_{\rm inf}:
  • Para -2\le x\le0 vale
x^2+1 > -x^3+2x+1,
logo
\text{altura} = (x^2+1)-\bigl(-x^3+2x+1\bigr).
  • Para 0\le x\le1 vale
-x^3+2x+1 > x^2+1,
logo
\text{altura} = \bigl(-x^3+2x+1\bigr)-(x^2+1).
Em ambos os casos o raio da casca é a distância até x=0, ou seja \lvert x\rvert.

Passo 4

Montamos a integral em duas parcelas, lembrando que em [-2,0] temos x\le0 então \lvert x\rvert=-x, e em [0,1] temos \lvert x\rvert=x:
V = 2\pi \int_{-2}^{0} \bigl(-x\bigr)\,\bigl[(x^2+1)-(-x^3+2x+1)\bigr]\,dx \;+\; 2\pi \int_{0}^{1} x\,\bigl[(-x^3+2x+1)-(x^2+1)\bigr]\,dx.

Resposta

V = 2\pi \int_{-2}^{0} (-x)\bigl(x^2+1 + x^3 -2x -1\bigr)\,dx \;+\; 2\pi \int_{0}^{1} x\bigl(-x^3 +2x +1 -x^2 -1\bigr)\,dx.

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