Dada a região delimitada pelas curvas y=-x^{3}+2 x+1 e y=x^{2}+1, pede-se a integral que dá o volume do sólido de rotação obtido ao girar tal região em torno da reta (não precisa resolver as integrais):
(0,7) x=2;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta x=2 a região compreendida entre as curvas
y=-x^3+2x+1
e
y=x^2+1.
Para esse tipo de problema, é natural usar o método das cascas cilíndricas, pois a reta de rotação é vertical e trabalharemos com integração em x.

Passo 2

Primeiro, determinamos os pontos de interseção das curvas resolvendo
-x^3+2x+1 \;=\; x^2+1
\Rightarrow -x^3 - x^2 +2x = 0
\Rightarrow -x\,(x^2+x-2)=0
\Rightarrow x(x+2)(x-1)=0
Logo, os pontos de interseção são x=-2, x=0 e x=1.
Em [-2,0] tem-se x^2+1 > -x^3+2x+1, enquanto em [0,1] ocorre -x^3+2x+1 > x^2+1.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, para uma abscissa genérica x entre -2 e 1:
– o raio da casca é a distância até x=2, ou seja
r(x)=2-x;
– a altura da casca é a diferença entre a curva superior e a inferior, que muda de expressão em x=0.
Por isso dividimos o integral em dois: um de -2 até 0 e outro de 0 até 1.

Passo 4

Montamos então a integral do volume pela soma das cascas:
V \;=\; 2\pi \Biggl[\int_{-2}^{0}(2 - x)\bigl[(x^2+1)-\bigl(-x^3+2x+1\bigr)\bigr]\;dx \;+\;\int_{0}^{1}(2 - x)\bigl[\bigl(-x^3+2x+1\bigr)-(x^2+1)\bigr]\;dx\Biggr].

Resposta

V = 2\pi \Biggl[\int_{-2}^{0}(2 - x)\bigl((x^2+1)-(-x^3+2x+1)\bigr)\,dx \;+\;\int_{0}^{1}(2 - x)\bigl((-x^3+2x+1)-(x^2+1)\bigr)\,dx\Biggr].

Exercícios relacionados