Escreva, mas não resolva, uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
e
, em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo
a região do plano limitada pelas curvas
e
Esse é um típico problema de volume por método dos discos (ou “washers”), pois para cada valor de
teremos um anel cuja área é
. Precisamos:
- Determinar os limites de
onde as curvas se intersectam. - Identificar, para cada
, qual curva está mais longe do eixo (raio externo) e qual está mais perto (raio interno). - Montar a integral em
.
Passo 2
Encontrando as interseções, igualamos
Logo, integraremos de
até
.
Passo 3
Para
temos
ou seja,
Ambos são distâncias até o eixo
(como
na região de interesse).
Passo 4
Pelo método dos discos, o volume é