Escreva, mas não resolva, uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
(1,0) x=-y^{2}+2 y+3 e x=y^{2}+3, em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo y a região do plano limitada pelas curvas
x = -y^{2} + 2y + 3
e
x = y^{2} + 3\,.
Esse é um típico problema de volume por método dos discos (ou “washers”), pois para cada valor de y teremos um anel cuja área é \pi\bigl[R_{\rm ext}(y)^{2}-R_{\rm int}(y)^{2}\bigr]. Precisamos:
  1. Determinar os limites de y onde as curvas se intersectam.
  2. Identificar, para cada y, qual curva está mais longe do eixo y (raio externo) e qual está mais perto (raio interno).
  3. Montar a integral em y.

Passo 2

Encontrando as interseções, igualamos
-y^{2}+2y+3 \;=\; y^{2}+3
\Longrightarrow -2y^{2}+2y=0 \;\Longrightarrow\;y=0\quad\text{ou}\quad y=1.
Logo, integraremos de y=0 até y=1.

Passo 3

Para y\in[0,1] temos
(-y^{2}+2y+3)-(y^{2}+3)=2y(1-y)\ge0,
ou seja,
R_{\rm ext}(y)= -y^{2}+2y+3, \quad R_{\rm int}(y)= y^{2}+3.
Ambos são distâncias até o eixo y (como x\ge0 na região de interesse).

Passo 4

Pelo método dos discos, o volume é
V \;=\;\int_{y=0}^{1}\pi\Bigl[R_{\rm ext}(y)^{2}-R_{\rm int}(y)^{2}\Bigr]\,dy \;=\; \int_{0}^{1}\pi\Bigl[\bigl(-y^{2}+2y+3\bigr)^{2}-\bigl(y^{2}+3\bigr)^{2}\Bigr]\,dy.

Resposta

V = \int_{0}^{1}\pi\Bigl[\bigl(-y^{2}+2y+3\bigr)^{2}-\bigl(y^{2}+3\bigr)^{2}\Bigr]\,dy.

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