Dada a região delimitada pelas curvas y=-x^{3}+2 x+1 e y=x^{2}+1, pede-se a integral que dá o volume do sólido de rotação obtido ao girar tal região em torno da reta (não precisa resolver as integrais):
(0,7) y=-1;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta y=-1, a região limitada pelas curvas
y_1(x) = -x^3 + 2x + 1
e
y_2(x) = x^2 + 1.
Vamos usar o método dos discos (ou anéis), em que para cada x tomamos a área de um anel de raio exterior R(x) e raio interior r(x).

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos de interseção das curvas resolvendo
-\,x^3 + 2x + 1 = x^2 + 1
\Longrightarrow -\,x^3 - x^2 + 2x = 0
\Longrightarrow x\,( -x^2 - x + 2)=0
\Longrightarrow x=0,\quad x^2 + x - 2 = 0\;\Rightarrow\;x=-2,\;x=1.
Logo a região está entre x=-2 e x=1.

Passo 3

Precisamos ver qual curva está acima em cada intervalo:
  • Em -2 \le x \le 0, testa-se x=-1:
    y_2(-1)=(-1)^2+1=2 e y_1(-1)= -(-1)^3+2(-1)+1=0.
    Logo y_2 está acima de y_1.
  • Em 0 \le x \le 1, testa-se x=0{,}5:
    y_1(0{,}5)\approx1{,}875 e y_2(0{,}5)=1{,}25.
    Agora y_1 está acima de y_2.

Passo 4

Ao girar em torno de y=-1, a distância de cada curva ao eixo é
\text{para }y_2: \;D_2(x)=y_2(x)-(-1)=\bigl(x^2+1\bigr)+1=x^2+2,
\text{para }y_1: \;D_1(x)=y_1(x)-(-1)=\bigl(-x^3+2x+1\bigr)+1=-x^3+2x+2.
Em cada x, o anel terá raio externo R(x) igual à maior dessas distâncias e raio interno r(x) igual à menor.

Passo 5

O volume total é
V =\pi\int_{-2}^{0}\Bigl[\bigl(x^2+2\bigr)^2-\bigl(-x^3+2x+2\bigr)^2\Bigr]\,dx \;+\; \pi\int_{0}^{1}\Bigl[\bigl(-x^3+2x+2\bigr)^2-\bigl(x^2+2\bigr)^2\Bigr]\,dx.

Resposta

V =\pi\int_{-2}^{0}\Bigl[(x^2+2)^2-(-x^3+2x+2)^2\Bigr]\,dx +\pi\int_{0}^{1}\Bigl[(-x^3+2x+2)^2-(x^2+2)^2\Bigr]\,dx.

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